Determine a solução de cada um dos PVI abaixo:

Passo 1

Temos o PVI
t^2y''-2y=ln t, t>0, y(1)=y'(1)=0
Este é um caso de equação de Euler (Cauchy–Euler) de segunda ordem não homogênea. Para resolver, vamos seguir três etapas: primeiro achar a solução geral da parte homogênea, depois uma solução particular (usando variação de parâmetros) e, por fim, aplicar as condições iniciais.

Passo 2

Procuramos primeiro a solução da equação homogênea
t^2y''-2y=0
Na equação de Euler, usamos o ansatz y=t^m. Substituindo,
m(m-1)t^m-2t^m=0
ou seja,
m(m-1)-2=0
que leva a
m^2-m-2=0 m=2 ou m=-1
Logo a solução homogênea é
yh(t)=C1t^2+C2t^-1

Passo 3

Para a parte particular, dividimos a equação original por t^2 e escrevemos em forma padrão:
y''-2t^2y=ln tt^2
Usamos variação de parâmetros com as soluções fundamentais y1=t^2 e y2=t^-1. Primeiro calculamos o wronskiano:
W=t^2&t^-12t&-t^-2=-1-2=-3

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão
u1'=-g(t)y2W=-(ln t)/t^2cdot t^-1-3=ln t3t^3, u2'=g(t)y1W=(ln t)/t^2cdot t^2-3=-ln t3,
onde g(t)=ln t/t^2. Integrando,
u1=integralln t3t^3,dt=13l(-ln t2t^2-14t^2r)=-ln t6t^2-112t^2, u2=integral -ln t3,dt=-13(tln t - t)=-tln t3+t3

Passo 5

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2=igl(-tfracln t6t^2-tfrac112t^2r)t^2+igl(-tfractln t3+tfract3r)t^-1=-tfrac12ln t+tfrac14 
Assim a solução geral do PVI é
y(t)=C1t^2+C2t^-1-tfrac12ln t+tfrac14

Passo 6

Agora aplicamos as condições iniciais. Calculamos
y(1)=C1+C2+tfrac14=0, y'(t)=2C1t-C2t^-2-tfrac12t, y'(1)=2C1-C2-tfrac12=0
Resolvendo o sistema
C1+C2=-tfrac14,2C1-C2=tfrac12,
obtemos C1=tfrac112 e C2=-tfrac13.

Resposta

y(t)=t^212-13t-12ln t+14

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