Sabendo-se que y1=t^2 é uma solução de
t^2 y^prime prime-2 y=0, t>0
utilizando o método da redução da ordem, conclua que y2=1t é uma outra solução.

Passo 1

O enunciado diz que temos a equação diferencial de segunda ordem homogênea
t^2y''-2y=0, t>0,
e já conhecemos uma solução y1(t)=t^2. O conteúdo aqui é resolução de EDO linear usando o método de redução de ordem para achar uma segunda solução independente y2.

Passo 2

Primeiro colocamos a equação na forma padrão y''+p(t)y'+q(t)y=0. Dividindo tudo por t^2 obtemos
y''-2t^2y=0,
logo p(t)=0 e q(t)=-2/t^2.

Passo 3

A técnica de redução de ordem diz que, se y1 é conhecida, podemos buscar
y2=y1(t)integrale^-integral p(t),dty1(t)^2,dt
Como p(t)=0, temos e^-integral p(t),dt=1.

Passo 4

Calculamos o integral necessário:
integral1y1^2,dt=integral1(t^2)^2,dt=integral t^-4,dt=-13t^3+C

Passo 5

Finalmente, montamos y2:
y2(t)=t^2cdotl(-13t^3r)=-13t
Como qualquer múltiplo constante serve, podemos escolher
y2(t)=1t.

Resposta

y_2(t)=\frac{1}{t}

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