Determine a solução para cada um dos seguintes problemas de valor inicial, utilizando o método de Variação de Parâmetros:
EDO: y^{\prime \prime}-y=\frac{e^{x}}{2}
Condições Iniciais: y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução da EDO com as condições iniciais dadas. Informações fornecidas:
\text{EDO: } y''-y=\frac{e^{x}}{2}
Condições iniciais:
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Queremos a função y(x) que satisfaça a EDO e essas condições.

Passo 2

Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (esta parte prepara o conjunto fundamental de soluções que vamos usar):
y_h''-y_h=0.
Formamos a equação característica:
r^{2}-1=0.
As raízes são
r=\pm 1.
Portanto duas soluções independentes da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=e^{-x}.
Essas duas funções formam um conjunto fundamental de soluções. Vamos aplicar Variação de Parâmetros buscando uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)e^{x}+u_{2}(x)e^{-x},
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar.

Passo 3

Explico a fórmula que usaremos: escrevendo a EDO na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x),
a variação de parâmetros dá as derivadas u_{1}' e u_{2}' por
u_{1}'(x)=-\frac{r(x)\,y_{2}(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{r(x)\,y_{1}(x)}{W(x)},
onde W(x) é o Wronskiano das soluções y_{1},y_{2}:
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
No nosso caso p(x)=0, q(x)=-1 e r(x)=\dfrac{e^{x}}{2}. Calculamos o Wronskiano usando y_{1}=e^{x}, y_{1}'=e^{x}, y_{2}=e^{-x}, y_{2}'=-e^{-x}:
W(x)=e^{x}(-e^{-x})-e^{x}e^{-x}=-1-1=-2.
Então W(x)=-2 (constante). Agora calculamos u_{1}' e u_{2}' explicitamente:
u_{1}'(x)=-\frac{r(x)\,y_{2}(x)}{W(x)}=-\frac{\frac{e^{x}}{2}\cdot e^{-x}}{-2}
Avalia a multiplicação do numerador: \dfrac{e^{x}}{2}\cdot e^{-x}=\dfrac{1}{2}. Assim
u_{1}'(x)=-\frac{\tfrac{1}{2}}{-2}=\frac{1}{4}.
Para u_{2}':
u_{2}'(x)=\frac{r(x)\,y_{1}(x)}{W(x)}=\frac{\frac{e^{x}}{2}\cdot e^{x}}{-2}=\frac{\tfrac{1}{2}e^{2x}}{-2}=-\frac{1}{4}e^{2x}.

Passo 4

Integramos para obter u_{1}(x) e u_{2}(x). Lembre que, em variação de parâmetros, qualquer constante de integração pode ser tomada como zero porque constantes multiplicando y_{1} e y_{2} são absorvidas na solução homogênea (vamos tratar as constantes gerais depois).
Integrando u_{1}'(x)=\dfrac{1}{4}:
u_{1}(x)=\int \frac{1}{4}\,dx=\frac{x}{4}.
Integrando u_{2}'(x)=-\dfrac{1}{4}e^{2x}:
u_{2}(x)=\int -\frac{1}{4}e^{2x}\,dx=-\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}e^{2x}=-\frac{1}{8}e^{2x}.
Tomamos as constantes de integração iguais a zero por convenção da técnica.
Agora montamos a solução particular:
y_{p}(x)=u_{1}(x)e^{x}+u_{2}(x)e^{-x}=\frac{x}{4}e^{x}-\frac{1}{8}e^{2x}\cdot e^{-x}.
Simplificando o segundo termo:
y_{p}(x)=\frac{x}{4}e^{x}-\frac{1}{8}e^{x}=e^{x}\!\left(\frac{x}{4}-\frac{1}{8}\right)=e^{x}\frac{2x-1}{8}.

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+e^{x}\frac{2x-1}{8}.
Agrupando termos em e^{x}\): \[y(x)=e^{x}\!\left(C_{1}+\frac{2x-1}{8}\right)+C_{2}e^{-x}.
Agora impomos as condições iniciais para determinar C_{1} e C_{2}.
Calculamos y(0). Substituindo x=0:
y(0)=e^{0}\!\left(C_{1}+\frac{2\cdot 0-1}{8}\right)+C_{2}e^{0}=C_{1}-\frac{1}{8}+C_{2}.
Pela condição y(0)=1 obtemos a equação
C_{1}+C_{2}-\frac{1}{8}=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=\frac{9}{8}.
Agora calculamos y'(x). Derivando termo a termo:
derivada de C_{1}e^{x} é C_{1}e^{x}.
derivada de C_{2}e^{-x} é -C_{2}e^{-x}.
derivada de e^{x}\dfrac{2x-1}{8} usa regra do produto:
\frac{d}{dx}\!\left(e^{x}\frac{2x-1}{8}\right)=e^{x}\frac{2x-1}{8}+e^{x}\frac{2}{8}=e^{x}\!\left(\frac{2x-1}{8}+\frac{1}{4}\right).
Somando as frações dentro do parêntese:
\frac{2x-1}{8}+\frac{1}{4}=\frac{2x-1}{8}+\frac{2}{8}=\frac{2x+1}{8}.
Logo a derivada do termo particular é e^{x}\dfrac{2x+1}{8}. Assim
y'(x)=C_{1}e^{x}-C_{2}e^{-x}+e^{x}\frac{2x+1}{8}.
Avaliamo em x=0:
y'(0)=C_{1}-C_{2}+\frac{1}{8}.
Pela condição y'(0)=0 obtemos
C_{1}-C_{2}+\frac{1}{8}=0\quad\Rightarrow\quad C_{1}-C_{2}=-\frac{1}{8}.
Agora resolvemos o sistema linear para C_{1},C_{2}:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=\dfrac{9}{8},\\[4pt] C_{1}-C_{2}=-\dfrac{1}{8}. \end{cases}
Somando as duas equações:
2C_{1}=\frac{9}{8}-\frac{1}{8}=\frac{8}{8}=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}=\frac{1}{2}.
Substituindo em (C_{1}+C_{2}=\dfrac{9}{8}]:
\frac{1}{2}+C_{2}=\frac{9}{8}\quad\Rightarrow\quad C_{2}=\frac{9}{8}-\frac{4}{8}=\frac{5}{8}.]

Passo 6

Substituímos C_{1} e C_{2} na solução geral e simplificamos:
y(x)=\frac{1}{2}e^{x}+\frac{5}{8}e^{-x}+e^{x}\frac{2x-1}{8}.
Agrupando os termos em e^{x}:
y(x)=e^{x}\!\left(\frac{1}{2}+\frac{2x-1}{8}\right)+\frac{5}{8}e^{-x}.
Somando as frações dentro do parêntese:
\frac{1}{2}+\frac{2x-1}{8}=\frac{4}{8}+\frac{2x-1}{8}=\frac{2x+3}{8}.
Portanto a solução final é
y(x)=e^{x}\frac{2x+3}{8}+\frac{5}{8}e^{-x}.

Resposta

y(x)=e^{x}\frac{2x+3}{8}+\frac{5}{8}e^{-x}.

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