Determine a solução para cada um dos seguintes problemas de valor inicial, utilizando o método de Variação de Parâmetros:
EDO: y^{\prime \prime}-y=\frac{e^{x}}{2}
Condições Iniciais: y(0)=1, y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução da EDO com as condições iniciais dadas. Informações fornecidas:
\text{EDO: } y''-y=\frac{e^{x}}{2}
Condições iniciais:
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Queremos a função y(x) que satisfaça a EDO e essas condições.
Passo 2
Primeiro resolvemos a equação homogênea associada (esta parte prepara o conjunto fundamental de soluções que vamos usar):
y_h''-y_h=0.
Formamos a equação característica:
r^{2}-1=0.
As raízes são
r=\pm 1.
Portanto duas soluções independentes da homogênea são
y_{1}(x)=e^{x},\qquad y_{2}(x)=e^{-x}.
Essas duas funções formam um conjunto fundamental de soluções. Vamos aplicar Variação de Parâmetros buscando uma solução particular da forma
y_{p}(x)=u_{1}(x)e^{x}+u_{2}(x)e^{-x},
onde u_{1} e u_{2} são funções a determinar.
Passo 3
Explico a fórmula que usaremos: escrevendo a EDO na forma padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=r(x),
a variação de parâmetros dá as derivadas u_{1}' e u_{2}' por
Integramos para obter u_{1}(x) e u_{2}(x). Lembre que, em variação de parâmetros, qualquer constante de integração pode ser tomada como zero porque constantes multiplicando y_{1} e y_{2} são absorvidas na solução homogênea (vamos tratar as constantes gerais depois).
Integrando u_{1}'(x)=\dfrac{1}{4}:
Agora calculamos y'(x). Derivando termo a termo:
derivada de C_{1}e^{x} é C_{1}e^{x}.
derivada de C_{2}e^{-x} é -C_{2}e^{-x}.
derivada de e^{x}\dfrac{2x-1}{8} usa regra do produto: