Encontre a solução geral para cada uma das seguintes equações diferenciais ordinárias de 2{ }^{\text {a }} ordem não homogêneas, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
y^{\prime \prime}+y^{\prime}=3 e^{-x}+x y(x)=C_{1}+ C_{2} e^{-x}-3 x e^{-x}+\frac{1}{2} x^{2}-x

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem não homogênea
y''+y'=3e^{-x}+x.
Dados relevantes que o enunciado fornece:
\text{(i)}\; \text{Equação: } y''+y'=3e^{-x}+x.çã
\text{(ii)}\; \text{Procuramos a solução geral } y(x)=y_h(x)+y_p(x),çã
onde y_h é a solução da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular da equação não homogênea.

Passo 2

Encontrar a solução da equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea:
y''+y'=0.
Para equações lineares com coeficientes constantes tentamos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo temos a equação característica
r^2+r=0.
Resolvendo:
r(r+1)=0\quad\Rightarrow\quad r=0,\; r=-1.
Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1 e^{0\cdot x}+C_2 e^{-x}=C_1+C_2 e^{-x},
onde C_1,C_2 são constantes arbitrárias. Pequena explicação: cada raiz r da equação característica corresponde a uma solução exponencial e^{rx}; combinações lineares dessas soluções cobrem todo o espaço de soluções da homogênea.

Passo 3

Escolher um ansatz (palpite) para a solução particular y_p usando o método dos coeficientes indeterminados. A ideia é escolher uma forma para y_p parecida com o lado direito 3e^{-x}+x e com parâmetros a determinar.
Regras úteis e como aplico aqui:
  • Para um termo exponencial A e^{\alpha x} no lado direito, tento um y_p do tipo polynomial \times e^{\alpha x}.
  • Para um polinômio de grau n no lado direito, tento um polinômio de grau n.
  • Se a forma escolhida coincide com uma solução da homogênea (isso chama-se ressonância), multiplico o ansatz por x^s, onde s é a multiplicidade da raiz correspondente da equação característica.
Aplicando ao nosso caso:
  • O termo 3e^{-x}: corresponde a e^{-x}. Como r=-1 é raiz da característica (multiplicidade 1), devemos multiplicar por x. Para o termo constante multiplicador 3 (polinômio de grau 0), o ansatz é A x e^{-x}.
  • O termo x: é um polinômio de grau 1. Porém r=0 é raiz da característica (multiplicidade 1), então multiplicamos o polinômio por x. Assim o ansatz para a parte polinomial será um polinômio de grau 1 multiplicado por x, i.e. um polinômio de grau 2 sem termo independente: D x^2 + E x.
Somando as duas partes obtemos o ansatz completo:
y_p(x)=A x e^{-x} + D x^2 + E x,
com constantes indeterminadas A,D,E a determinar. Explico o porquê: sem multiplicar por x haveria conflito com soluções homogêneas ( 1 e e^{-x}), por isso o fator x.

Passo 4

Calcular derivadas de cada parte e substituir na equação para determinar os coeficientes.
Parte exponencial: y_{p1}=A x e^{-x}.
Calculemos derivadas (mostrando cada passo):
y_{p1}'=A\frac{d}{dx}(x e^{-x})=A\big(e^{-x}+x(-e^{-x})\big)=A e^{-x}(1-x).
y_{p1}''=A\frac{d}{dx}\big(e^{-x}(1-x)\big)=A\big(-e^{-x}(1-x)+e^{-x}(-1)\big)=A e^{-x}\big(-(1-x)-1\big)=A e^{-x}(x-2).
Agora aplicamos o operador L[y]=y''+y' nessa parte:
L[y_{p1}]=y_{p1}''+y_{p1}'=A e^{-x}(x-2)+A e^{-x}(1-x)=A e^{-x}((x-2)+(1-x))=A e^{-x}(-1)=-A e^{-x}.
Queremos que essa contribuição cubra o termo 3e^{-x} do lado direito, logo
-A e^{-x}=3e^{-x}\quad\Rightarrow\quad A=-3.

Passo 5

Agora a parte polinomial: y_{p2}=D x^2+E x.
Derivadas:
y_{p2}'=2D x+E,
y_{p2}''=2D.
Aplicando o operador:
L[y_{p2}]=y_{p2}''+y_{p2}'=2D + (2D x+E)=2D x + (2D+E).
Esse resultado deve igualar a parte polinomial do lado direito, que é x, ou seja 1\cdot x + 0. Igualando coeficientes polinomiais:
  • Coeficiente de x: 2D = 1 \Rightarrow D=\tfrac{1}{2}.
  • Termo constante: 2D+E = 0 \Rightarrow E = -2D = -1.

Passo 6

Reunir os resultados das partes: A=-3, D=\tfrac{1}{2}, E=-1. Assim a solução particular é
y_p(x)=-3x e^{-x} + \tfrac{1}{2}x^2 - x.
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1 + C_2 e^{-x} -3x e^{-x} + \tfrac{1}{2}x^2 - x.
Se quiser checar rapidamente: aplicar L em y_p devolve 3e^{-x}+x (a parte exponencial deu -A e^{-x}=3e^{-x} e a parte polinomial deu x), portanto a soma com a homogênea produz a solução geral.

Resposta

y(x)=C_{1}+C_{2}e^{-x}-3x e^{-x}+\tfrac{1}{2}x^{2}-x

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