Encontre a solução geral para cada uma das seguintes equações diferenciais ordinárias de
ordem não homogêneas, utilizando o método dos coeficientes indeterminados:
Passo 1
O enunciado pede: encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária de segunda ordem não homogênea
Dados relevantes que o enunciado fornece:
onde
é a solução da equação homogênea associada e
é uma solução particular da equação não homogênea.
Passo 2
Encontrar a solução da equação homogênea associada. Escrevemos a homogênea:
Para equações lineares com coeficientes constantes tentamos soluções do tipo
. Substituindo temos a equação característica
Resolvendo:
Como as raízes são distintas, a solução geral da homogênea é
onde
são constantes arbitrárias. Pequena explicação: cada raiz
da equação característica corresponde a uma solução exponencial
; combinações lineares dessas soluções cobrem todo o espaço de soluções da homogênea.
Passo 3
Escolher um ansatz (palpite) para a solução particular
usando o método dos coeficientes indeterminados. A ideia é escolher uma forma para
parecida com o lado direito
e com parâmetros a determinar.
Regras úteis e como aplico aqui:
- Para um termo exponencial
no lado direito, tento um do tipo polynomial . - Para um polinômio de grau
no lado direito, tento um polinômio de grau . - Se a forma escolhida coincide com uma solução da homogênea (isso chama-se ressonância), multiplico o ansatz por
, onde é a multiplicidade da raiz correspondente da equação característica.
Aplicando ao nosso caso:
- O termo
: corresponde a . Como é raiz da característica (multiplicidade 1), devemos multiplicar por . Para o termo constante multiplicador (polinômio de grau ), o ansatz é . - O termo
: é um polinômio de grau . Porém é raiz da característica (multiplicidade 1), então multiplicamos o polinômio por . Assim o ansatz para a parte polinomial será um polinômio de grau multiplicado por , i.e. um polinômio de grau sem termo independente: .
Somando as duas partes obtemos o ansatz completo:
com constantes indeterminadas
a determinar. Explico o porquê: sem multiplicar por
haveria conflito com soluções homogêneas (
e
), por isso o fator
.
Passo 4
Calcular derivadas de cada parte e substituir na equação para determinar os coeficientes.
Parte exponencial:
.
Calculemos derivadas (mostrando cada passo):
Calculemos derivadas (mostrando cada passo):
Agora aplicamos o operador
nessa parte:
Queremos que essa contribuição cubra o termo
do lado direito, logo
Passo 5
Agora a parte polinomial:
.
Derivadas:
Derivadas:
Aplicando o operador:
Esse resultado deve igualar a parte polinomial do lado direito, que é
, ou seja
. Igualando coeficientes polinomiais:
- Coeficiente de
: - Termo constante:
Passo 6
Reunir os resultados das partes:
,
,
. Assim a solução particular é
A solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Se quiser checar rapidamente: aplicar
em
devolve
(a parte exponencial deu
e a parte polinomial deu
), portanto a soma com a homogênea produz a solução geral.