Determine a solução para cada um dos seguintes problemas de valor inicial, utilizando o método de Variação de Parâmetros:
EDO: y^{\prime \prime}+4 y=3 \sin (2 x), \quad 0< x<\frac{\pi}{4}
Condições Iniciais: y(0)=1, y^{\prime}(0)=1
Passo 1
O problema pede resolver o problema de valor inicial dado por\n
y'' + 4y = 3\sin(2x),\qquad 0<x<\frac{\pi}{4},\n
com as condições iniciais\n
y(0)=1,\qquad y'(0)=1.\n
Informações fornecidas que vamos usar: a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo 3\sin(2x); as condições iniciais em x=0. A solução geral será a soma da solução da homogênea e de uma solução particular. A técnica a ser explicada e aplicada é o método de Variação de Parâmetros.
Passo 2
Encontrar a solução da equação homogênea associada.\n
A equação homogênea é
y''+4y=0.
Formamos a equação característica
r^2+4=0,
cuja solução é
r=\pm 2i.
Para raízes complexas \pm 2i a solução fundamental real é
y_1(x)=\cos(2x),\qquad y_2(x)=\sin(2x).
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 3
Apresentar a ideia do método de Variação de Parâmetros (de forma didática).\n
A ideia é procurar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1(x) e u_2(x) são funções a determinar (em vez de constantes). Para reduzir a liberdade impomos a condição auxiliar
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0,
o que simplifica as expressões e permite resolver para u_1' e u_2'. Para a equação padrão
Aplicando com A=4x,B=2x para \sin(4x)\cos(2x) e também para \cos(4x)\sin(2x) (repare que \cos(4x)\sin(2x)=\sin(2x)\cos(4x)), obtemos que os termos envolvendo \sin(6x) se cancelam. Após essa simplificação (passo algébrico direto), ficamos com
Uma verificação rápida: o termo proporcional a x\cos(2x) é típico de ressonância (quando o lado direito é solução da homogênea), e o termo em \sin(2x) remanescente aparece com coeficiente fixo.
Passo 8
Escrever a solução geral da equação não-homogênea.\n
A solução geral é