Determine a solução para cada um dos seguintes problemas de valor inicial, utilizando o método de Variação de Parâmetros:
EDO: y^{\prime \prime}+4 y=3 \sin (2 x), \quad 0< x<\frac{\pi}{4}
Condições Iniciais: y(0)=1, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O problema pede resolver o problema de valor inicial dado por\n
y'' + 4y = 3\sin(2x),\qquad 0<x<\frac{\pi}{4},\n
com as condições iniciais\n
y(0)=1,\qquad y'(0)=1.\n
Informações fornecidas que vamos usar: a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes e termo não-homogêneo 3\sin(2x); as condições iniciais em x=0. A solução geral será a soma da solução da homogênea e de uma solução particular. A técnica a ser explicada e aplicada é o método de Variação de Parâmetros.

Passo 2

Encontrar a solução da equação homogênea associada.\n
A equação homogênea é
y''+4y=0.
Formamos a equação característica
r^2+4=0,
cuja solução é
r=\pm 2i.
Para raízes complexas \pm 2i a solução fundamental real é
y_1(x)=\cos(2x),\qquad y_2(x)=\sin(2x).
Portanto a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 3

Apresentar a ideia do método de Variação de Parâmetros (de forma didática).\n
A ideia é procurar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1(x) e u_2(x) são funções a determinar (em vez de constantes). Para reduzir a liberdade impomos a condição auxiliar
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0,
o que simplifica as expressões e permite resolver para u_1' e u_2'. Para a equação padrão
y''+p(x)y'+q(x)y=g(x)
as fórmulas se tornam
u_1'(x)=-\frac{g(x)\,y_2(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{g(x)\,y_1(x)}{W(x)},
onde W(x) é o Wronskiano de y_1,y_2:
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2\\\ y_1' & y_2'\end{vmatrix}=y_1y_2'-y_1'y_2.
Aqui temos p(x)=0, q(x)=4 e g(x)=3\sin(2x). Vamos calcular W(x) com y_1=\cos(2x) e y_2=\sin(2x).

Passo 4

Calcular o Wronskiano e as derivadas necessárias.\n
Derivadas:
y_1'(x)=-2\sin(2x),\qquad y_2'(x)=2\cos(2x).
O Wronskiano é
W(x)=\cos(2x)\cdot 2\cos(2x)-(-2\sin(2x))\cdot\sin(2x)=2\cos^2(2x)+2\sin^2(2x)=2.
Portanto W(x)=2 (constante), o que facilita bastante. Agora aplicamos as fórmulas:
u_1'(x)=-\frac{g(x)\,y_2(x)}{W(x)}=-\frac{3\sin(2x)\cdot\sin(2x)}{2}=-\frac{3}{2}\sin^2(2x),
u_2'(x)=\frac{g(x)\,y_1(x)}{W(x)}=\frac{3\sin(2x)\cdot\cos(2x)}{2}=\frac{3}{2}\sin(2x)\cos(2x).

Passo 5

Integrar u_1'(x) para obter u_1(x), com explicação das identidades trigonométricas usadas.\n
Temos
u_1'(x)=-\frac{3}{2}\sin^2(2x).
Usamos a identidade de redução de potência
\sin^2(2x)=\frac{1-\cos(4x)}{2}.
Substituindo:
u_1'(x)=-\frac{3}{2}\cdot\frac{1-\cos(4x)}{2}=-\frac{3}{4}\bigl(1-\cos(4x)\bigr).
Agora integramos (a constante de integração pode ser tomada zero porque constantes em u_1,u_2 voltam para a solução homogênea):
u_1(x)=-\frac{3}{4}\int\bigl(1-\cos(4x)\bigr)\,dx=-\frac{3}{4}\Bigl(x-\frac{1}{4}\sin(4x)\Bigr).
Logo
u_1(x)=-\frac{3}{4}x+\frac{3}{16}\sin(4x).

Passo 6

Integrar u_2'(x) para obter u_2(x), mostrando passos.\n
Temos
u_2'(x)=\frac{3}{2}\sin(2x)\cos(2x).
Usamos a identidade de produto para seno e cosseno:
\sin(2x)\cos(2x)=\frac{1}{2}\sin(4x).
Assim
u_2'(x)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(4x)=\frac{3}{4}\sin(4x).
Integramos:
u_2(x)=\frac{3}{4}\int\sin(4x)\,dx=\frac{3}{4}\Bigl(-\frac{1}{4}\cos(4x)\Bigr)=-\frac{3}{16}\cos(4x).
(Novamente omiti a constante de integração que seria absorvida pela solução homogênea.)

Passo 7

Construir a solução particular y_p e simplificá-la com identidades trigonométricas.\n
A solução particular é
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x).
Substituindo u_1,u_2,y_1,y_2:
y_p(x)=\Bigl(-\frac{3}{4}x+\frac{3}{16}\sin(4x)\Bigr)\cos(2x) +\Bigl(-\frac{3}{16}\cos(4x)\Bigr)\sin(2x).
Vamos simplificar os termos com \sin(4x)\cos(2x) e \cos(4x)\sin(2x). Usamos a identidade
\sin(A)\cos(B)=\tfrac{1}{2}\bigl(\sin(A+B)+\sin(A-B)\bigr).
Aplicando com A=4x,B=2x para \sin(4x)\cos(2x) e também para \cos(4x)\sin(2x) (repare que \cos(4x)\sin(2x)=\sin(2x)\cos(4x)), obtemos que os termos envolvendo \sin(6x) se cancelam. Após essa simplificação (passo algébrico direto), ficamos com
y_p(x)=-\frac{3}{4}x\cos(2x)+\frac{3}{16}\sin(2x).
Uma verificação rápida: o termo proporcional a x\cos(2x) é típico de ressonância (quando o lado direito é solução da homogênea), e o termo em \sin(2x) remanescente aparece com coeficiente fixo.

Passo 8

Escrever a solução geral da equação não-homogênea.\n
A solução geral é
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)-\frac{3}{4}x\cos(2x)+\frac{3}{16}\sin(2x).

Passo 9

Aplicar a condição inicial y(0)=1 para encontrar C_1.\n
Avaliamo y(0). Usando \cos(0)=1 e \sin(0)=0:
y(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 -\frac{3}{4}\cdot 0\cdot 1 + \frac{3}{16}\cdot 0 = C_1.
Como y(0)=1, obtemos
C_1=1.

Passo 10

Calcular y'(x), avaliar em x=0 e usar y'(0)=1 para encontrar C_2.\n
Derivamos termo a termo. Começando da expressão
y(x)=C_1\cos(2x)+C_2\sin(2x)-\frac{3}{4}x\cos(2x)+\frac{3}{16}\sin(2x),
derivamos cada parte:
\frac{d}{dx}\bigl(C_1\cos(2x)\bigr)=-2C_1\sin(2x),
\frac{d}{dx}\bigl(C_2\sin(2x)\bigr)=2C_2\cos(2x),
para -\tfrac{3}{4}x\cos(2x) usamos a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl(-\tfrac{3}{4}x\cos(2x)\bigr)=-\tfrac{3}{4}\cos(2x)+\tfrac{3}{2}x\sin(2x),
e
\frac{d}{dx}\bigl(\tfrac{3}{16}\sin(2x)\bigr)=\tfrac{3}{8}\cos(2x).
Somando:
y'(x)=-2C_1\sin(2x)+2C_2\cos(2x)-\tfrac{3}{4}\cos(2x)+\tfrac{3}{2}x\sin(2x)+\tfrac{3}{8}\cos(2x).
Agrupando os termos em \cos(2x):
y'(x)=-2C_1\sin(2x)+\Bigl(2C_2-\tfrac{3}{4}+\tfrac{3}{8}\Bigr)\cos(2x)+\tfrac{3}{2}x\sin(2x).
Simplificando o coeficiente de \cos(2x):
-\tfrac{3}{4}+\tfrac{3}{8}=-\tfrac{3}{8},
logo
y'(x)=-2C_1\sin(2x)+\Bigl(2C_2-\tfrac{3}{8}\Bigr)\cos(2x)+\tfrac{3}{2}x\sin(2x).
Agora avaliamos em x=0. Como \sin(0)=0 e \cos(0)=1:
y'(0)=2C_2-\tfrac{3}{8}.
Usando y'(0)=1 obtemos
2C_2-\tfrac{3}{8}=1\quad\Rightarrow\quad 2C_2=\tfrac{11}{8}\quad\Rightarrow\quad C_2=\tfrac{11}{16}.

Passo 11

Substituir as constantes e simplificar a solução final.\n
Temos C_1=1 e C_2=\tfrac{11}{16}. Reescrevendo a solução geral com esses valores:
y(x)=\cos(2x)+\frac{11}{16}\sin(2x)-\frac{3}{4}x\cos(2x)+\frac{3}{16}\sin(2x).
Agrupando os termos em \sin(2x):
\frac{11}{16}\sin(2x)+\frac{3}{16}\sin(2x)=\frac{14}{16}\sin(2x)=\frac{7}{8}\sin(2x).
Portanto a solução simplificada é
y(x)=\cos(2x)+\frac{7}{8}\sin(2x)-\frac{3}{4}x\cos(2x).

Resposta

y(x)=\cos(2x)+\frac{7}{8}\sin(2x)-\frac{3}{4}x\cos(2x).

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