Determine a solução para cada um dos seguintes problemas de valor inicial, utilizando o método de Variação de Parâmetros:
EDO: y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sec} (x), \quad 0<x<\frac{\pi}{2} Condições Iniciais: y(0)=1, y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de valor inicial dado pela equação diferencial e condições:
y''+y=\operatorname{sec}(x),\qquad 0<x<\frac{\pi}{2}
Condições iniciais:
y(0)=1,\qquad y'(0)=0.
Dados relevantes:
  • A equação é de segunda ordem não homogênea com termo forçante \operatorname{sec}(x).
  • O domínio indicado é 0<x<\pi/2 (onde \cos x>0 e \operatorname{sec} x está bem definida).
  • Precisamos encontrar a solução que satisfaz as duas condições iniciais.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada (ou seja, com o lado direito zero):
y_h''+y_h=0.
Resolvendo a equação característica: \;r^2+1=0\; que tem raízes r=\pm i. Portanto as soluções fundamentais (independentes) são
y_1(x)=\cos x,\qquad y_2(x)=\sin x.
A solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_1\cos x + C_2\sin x,
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Vou aplicar o método de Variação de Parâmetros. A ideia: procurar uma solução particular da forma
y_p(x)=u_1(x)y_1(x)+u_2(x)y_2(x),
onde u_1 e u_2 são funções a determinar (em vez de constantes). Para simplificar as contas, impomos a condição auxiliar
u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0.
Isso nos permite escrever a derivada como
y_p'(x)=u_1(x)y_1'(x)+u_2(x)y_2'(x).
Derivando novamente e substituindo na equação original, chega-se ao sistema para u_1' e u_2':
\begin{cases} u_1'(x)y_1'(x)+u_2'(x)y_2'(x)=\operatorname{sec}(x),\\[4pt] u_1'(x)y_1(x)+u_2'(x)y_2(x)=0. \end{cases}
Esse sistema linear é resolvido em termos do Wronskiano
W(x)=\begin{vmatrix} y_1 & y_2 \\[4pt] y_1' & y_2' \end{vmatrix}.
As fórmulas padrão (que podem ser deduzidas resolvendo o sistema acima) são
u_1'(x)=-\frac{\operatorname{sec}(x)\,y_2(x)}{W(x)},\qquad u_2'(x)=\frac{\operatorname{sec}(x)\,y_1(x)}{W(x)}.]

Passo 4

Calculemos o Wronskiano usando y_1=\cos x e y_2=\sin x:
y_1'=-\sin x,\qquad y_2'=\cos x,
W(x)=\begin{vmatrix}\cos x & \sin x\\[4pt]-\sin x & \cos x\end{vmatrix}=\cos^2 x+\sin^2 x=1.
Portanto W(x)=1 para todo x, o que simplifica muito as fórmulas para u_1' e u_2'.]

Passo 5

Usando as fórmulas e W=1 temos:
u_1'(x)=-\operatorname{sec}(x)\,y_2(x)=-\operatorname{sec}(x)\sin x,
u_2'(x)=\operatorname{sec}(x)\,y_1(x)=\operatorname{sec}(x)\cos x.
Simplifique cada expressão: lembrando que \operatorname{sec} x=1/\cos x,
u_1'(x)=-\frac{\sin x}{\cos x}=-\tan x,
u_2'(x)=\frac{\cos x}{\cos x}=1.

Passo 6

Agora integramos para obter u_1 e u_2. Integração de u_1':
u_1(x)=\int -\tan x\,dx.
Lembre que \frac{d}{dx}\big(\ln(\cos x)\big)=-\tan x. Assim
u_1(x)=\ln(\cos x)+C_1^{*}.
Para u_2:
u_2(x)=\int 1\,dx = x + C_2^{*}.
No método de variação de parâmetros podemos tomar as constantes de integração C_1^{*} e C_2^{*} iguais a zero, pois elas apenas gerariam termos que pertencem à solução homogênea (absorvíveis por C_1,C_2). Portanto escolhemos
u_1(x)=\ln(\cos x),\qquad u_2(x)=x.

Passo 7

Construa a solução particular:
y_p(x)=u_1(x)\cos x + u_2(x)\sin x = \cos x\,\ln(\cos x) + x\sin x.

Passo 8

A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x + \cos x\,\ln(\cos x) + x\sin x.

Passo 9

Aplique as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Avalie y(0). Note que pego \cos 0=1, \sin 0=0, \ln(\cos 0)=\ln 1=0:
y(0)=C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0 + 1\cdot 0 + 0 = C_1.
Como y(0)=1, segue que
C_1=1.

Passo 10

Agora calcule y'(x) para aplicar y'(0)=0. Diferenciando termo a termo (usando regra do produto e derivada de \ln(\cos x) que é -\tan x):
Derivada de C_1\cos x é -C_1\sin x.
Derivada de C_2\sin x é C_2\cos x.
Derivada de \cos x\ln(\cos x):
\frac{d}{dx}\big(\cos x\ln(\cos x)\big) = -\sin x\ln(\cos x) + \cos x\cdot\big(-\tan x\big) = -\sin x\ln(\cos x) - \sin x.
Derivada de x\sin x é \sin x + x\cos x.
Somando:
y'(x)=-C_1\sin x + C_2\cos x \;+\; \big(-\sin x\ln(\cos x) - \sin x\big) \;+\; \big(\sin x + x\cos x\big).
Observe que -\sin x e +\sin x se cancelam, restando
y'(x)=-C_1\sin x + C_2\cos x - \sin x\ln(\cos x) + x\cos x.
Agora avalie em x=0: \sin 0=0, \cos 0=1, \ln(\cos 0)=0, x\cos x|_{x=0}=0. Então
y'(0)= -C_1\cdot 0 + C_2\cdot 1 - 0 + 0 = C_2.
Dado y'(0)=0 obtemos C_2=0.

Passo 11

Substituindo C_1=1 e C_2=0 na solução geral, obtemos a solução do problema de valor inicial:
y(x)=\cos x + \cos x\,\ln(\cos x) + x\sin x.
Podemos escrever de forma ligeiramente mais compacta como
y(x)=\cos x\big(1+\ln(\cos x)\big)+x\sin x.

Resposta

y(x)=\cos x\big(1+\ln(\cos x)\big)+x\sin x

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