Determine a solução para cada um dos seguintes problemas de valor inicial, utilizando o método de Variação de Parâmetros:
EDO: y^{\prime \prime}+y=\operatorname{sec} (x), \quad 0<x<\frac{\pi}{2} Condições Iniciais: y(0)=1, y^{\prime}(0)=0
Passo 1
O enunciado pede a solução do problema de valor inicial dado pela equação diferencial e condições:
Simplifique cada expressão: lembrando que \operatorname{sec} x=1/\cos x,
u_1'(x)=-\frac{\sin x}{\cos x}=-\tan x,
u_2'(x)=\frac{\cos x}{\cos x}=1.
Passo 6
Agora integramos para obter u_1 e u_2. Integração de u_1':
u_1(x)=\int -\tan x\,dx.
Lembre que \frac{d}{dx}\big(\ln(\cos x)\big)=-\tan x. Assim
u_1(x)=\ln(\cos x)+C_1^{*}.
Para u_2:
u_2(x)=\int 1\,dx = x + C_2^{*}.
No método de variação de parâmetros podemos tomar as constantes de integração C_1^{*} e C_2^{*} iguais a zero, pois elas apenas gerariam termos que pertencem à solução homogênea (absorvíveis por C_1,C_2). Portanto escolhemos
u_1(x)=\ln(\cos x),\qquad u_2(x)=x.
Passo 7
Construa a solução particular:
y_p(x)=u_1(x)\cos x + u_2(x)\sin x = \cos x\,\ln(\cos x) + x\sin x.
Passo 8
A solução geral da equação não homogênea é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x + \cos x\,\ln(\cos x) + x\sin x.
Passo 9
Aplique as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Avalie y(0). Note que pego \cos 0=1, \sin 0=0, \ln(\cos 0)=\ln 1=0:
Agora calcule y'(x) para aplicar y'(0)=0. Diferenciando termo a termo (usando regra do produto e derivada de \ln(\cos x) que é -\tan x):
Derivada de C_1\cos x é -C_1\sin x.
Derivada de C_2\sin x é C_2\cos x.
Derivada de \cos x\ln(\cos x):