Determine a solução para cada um dos seguintes problemas de valor inicial, utilizando o método de Variação de Parâmetros:
EDO:
Condições Iniciais:
,
EDO:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e pede a solução que satisfaz condições iniciais. Dados e perguntas explícitas:
- EDO:
. Aqui vou usar o símbolo hiperbólico padrão em TeX: , portanto a EDO é . - Condições iniciais:
e .
O objetivo é encontrar a função
que satisfaz a EDO e essas condições iniciais, usando o método de Variação de Parâmetros. Nada mais é fornecido.
Passo 2
Começamos resolvendo a equação homogênea associada (essa parte sempre é a primeira no método de variação de parâmetros).
A equação homogênea é
Procuramos soluções da forma
. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
cuja solução é
. Logo duas soluções independentes fundamentais são
A solução geral da homogênea é então
onde
são constantes a determinar pelas condições iniciais mais adiante.
Passo 3
Agora vamos aplicar Variação de Parâmetros para achar uma solução particular
da EDO não homogênea. A ideia é procurar
onde
e
são funções a encontrar (em vez de constantes).
Para simplificar o sistema usamos a condição auxiliar padrão
Com isso, ao derivar
teremos expressões mais simples para
e
.
Passo 4
Calcule
e
impondo a condição auxiliar.
Derivando
:
Usando a condição
simplificamos para
Derivando novamente:
Agora substituímos na EDO
. Observe que
porque os termos
cancelam com
. Logo obtemos a condição
Passo 5
Temos agora um sistema linear para
Somando e subtraindo as equações isolamos
.
Somando as duas equações:
Subtraindo (primeira da segunda):
Passo 6
Agora integramos
e
. Para isso simplificamos as integrais algébrica e explicitamente.
Primeiro
:
Usando
obtemos
Portanto
Integrando:
No método de variação de parâmetros podemos escolher a constante de integração
(qualquer constante seria absorvida nas constantes da solução homogênea). Assim tomamos
Agora
:
Usando
temos
logo
Integrando:
Tomando a constante
por conveniência,
Passo 7
Construímos então a solução particular
:
Substituindo
e
:
Agora simplificamos termo a termo:
- Termos com
: . - Termos exponenciais:
.
Portanto
Passo 8
A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro
. Como
,
,
, temos
Passo 9
Precisamos de
. Derivando a expressão geral:
Derivada da homogênea:
.
Derivada de
:
Somando:
Logo a derivada total é
Impondo
(novamente
e
) obtemos
Assim
Passo 10
Resolvemos o sistema linear para
Somando as duas equações:
.
Substituindo em
dá
.]
Passo 11
Substituímos
e
na solução geral. Assim
Podemos simplificar combinando os termos exponenciais em funções hiperbólicas. Observando que
somando
obtemos uma forma mais compacta:
Essa expressão é equivalente à anterior, e é conveniente para interpretação.