Determine a solução para cada um dos seguintes problemas de valor inicial, utilizando o método de Variação de Parâmetros:
EDO: y^{\prime \prime}-y=\operatorname{senh}(x)
Condições Iniciais: y(0)=2, y^{\prime}(0)=1

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem e pede a solução que satisfaz condições iniciais. Dados e perguntas explícitas:
  • EDO: y''-y=\operatorname{senh}(x). Aqui vou usar o símbolo hiperbólico padrão em TeX: \operatorname{sinh}(x), portanto a EDO é y''-y=\operatorname{sinh}(x).
  • Condições iniciais: y(0)=2 e y'(0)=1.
O objetivo é encontrar a função y(x) que satisfaz a EDO e essas condições iniciais, usando o método de Variação de Parâmetros. Nada mais é fornecido.

Passo 2

Começamos resolvendo a equação homogênea associada (essa parte sempre é a primeira no método de variação de parâmetros).
A equação homogênea é
y''-y=0.
Procuramos soluções da forma y=e^{rx}. Substituindo na homogênea obtemos a equação característica
r^2-1=0,
cuja solução é r=\pm 1. Logo duas soluções independentes fundamentais são
y_1(x)=e^{x},\qquad y_2(x)=e^{-x}.
A solução geral da homogênea é então
y_h(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x},
onde C_1,C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais mais adiante.

Passo 3

Agora vamos aplicar Variação de Parâmetros para achar uma solução particular y_p(x) da EDO não homogênea. A ideia é procurar
y_p(x)=u_1(x)e^{x}+u_2(x)e^{-x},
onde u_1(x) e u_2(x) são funções a encontrar (em vez de constantes).
Para simplificar o sistema usamos a condição auxiliar padrão
u_1'(x)e^{x}+u_2'(x)e^{-x}=0.
Com isso, ao derivar y_p teremos expressões mais simples para y_p' e y_p''.

Passo 4

Calcule y_p' e y_p'' impondo a condição auxiliar.
Derivando y_p:
y_p' = u_1' e^{x}+u_1 e^{x}+u_2' e^{-x}-u_2 e^{-x}.
Usando a condição u_1' e^{x}+u_2' e^{-x}=0 simplificamos para
y_p' = u_1 e^{x}-u_2 e^{-x}.
Derivando novamente:
y_p'' = u_1' e^{x}+u_1 e^{x}-u_2' e^{-x}+u_2 e^{-x}.
Agora substituímos na EDO y_p''-y_p=\operatorname{sinh}(x). Observe que y_p''-y_p=(u_1' e^{x}-u_2' e^{-x}) porque os termos u_1 e^{x}-u_2 e^{-x} cancelam com -y_p. Logo obtemos a condição
u_1'(x)e^{x}-u_2'(x)e^{-x}=\operatorname{sinh}(x).

Passo 5

Temos agora um sistema linear para u_1'\) e \(u_2'\): \[\begin{cases} u_1' e^{x}+u_2' e^{-x}=0,\\[6pt] u_1' e^{x}-u_2' e^{-x}=\operatorname{sinh}(x). \end{cases}
Somando e subtraindo as equações isolamos u_1'\] e \(u_2'.
Somando as duas equações:
2u_1' e^{x}=\operatorname{sinh}(x)\quad\Rightarrow\quad u_1'=\frac{\operatorname{sinh}(x)e^{-x}}{2}.
Subtraindo (primeira da segunda):
-2u_2' e^{-x}=\operatorname{sinh}(x)\quad\Rightarrow\quad u_2'=-\frac{\operatorname{sinh}(x)e^{x}}{2}.]

Passo 6

Agora integramos u_1' e u_2'. Para isso simplificamos as integrais algébrica e explicitamente.
Primeiro u_1':
u_1'=\frac{1}{2}\operatorname{sinh}(x)e^{-x}.
Usando \operatorname{sinh}(x)=\tfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} obtemos
\operatorname{sinh}(x)e^{-x}=\frac{e^{x}-e^{-x}}{2}\,e^{-x}=\frac{1-e^{-2x}}{2}.
Portanto
u_1'=\frac{1-e^{-2x}}{4}.
Integrando:
u_1(x)=\int \frac{1-e^{-2x}}{4}\,dx=\frac{1}{4}\left(x+\frac{1}{2}e^{-2x}\right)+C.
No método de variação de parâmetros podemos escolher a constante de integração C=0 (qualquer constante seria absorvida nas constantes da solução homogênea). Assim tomamos
u_1(x)=\frac{x}{4}+\frac{e^{-2x}}{8}.
Agora u_2':
u_2'=-\frac{1}{2}\operatorname{sinh}(x)e^{x}.
Usando \operatorname{sinh}(x)=\tfrac{e^{x}-e^{-x}}{2} temos
\operatorname{sinh}(x)e^{x}=\frac{e^{2x}-1}{2},
logo
u_2'=-\frac{e^{2x}-1}{4}=\frac{1-e^{2x}}{4}.
Integrando:
u_2(x)=\int \frac{1-e^{2x}}{4}\,dx=\frac{1}{4}\left(x-\frac{1}{2}e^{2x}\right)+C.
Tomando a constante C=0 por conveniência,
u_2(x)=\frac{x}{4}-\frac{e^{2x}}{8}.

Passo 7

Construímos então a solução particular y_p:
y_p(x)=u_1(x)e^{x}+u_2(x)e^{-x}.
Substituindo u_1 e u_2:
y_p=\left(\frac{x}{4}+\frac{e^{-2x}}{8}\right)e^{x}+\left(\frac{x}{4}-\frac{e^{2x}}{8}\right)e^{-x}.
Agora simplificamos termo a termo:
  • Termos com x: \frac{x}{4}(e^{x}+e^{-x})=\frac{x}{4}\cdot 2\operatorname{cosh}(x)=\frac{x}{2}\operatorname{cosh}(x).
  • Termos exponenciais: \frac{e^{-2x}}{8}e^{x} - \frac{e^{2x}}{8}e^{-x}=\frac{e^{-x}-e^{x}}{8}=-\frac{1}{8}(e^{x}-e^{-x})=-\frac{1}{4}\operatorname{sinh}(x).
Portanto
y_p(x)=\frac{x}{2}\operatorname{cosh}(x)-\frac{1}{4}\operatorname{sinh}(x).

Passo 8

A solução geral da EDO é a soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_1 e^{x}+C_2 e^{-x}+\frac{x}{2}\operatorname{cosh}(x)-\frac{1}{4}\operatorname{sinh}(x).
Agora aplicamos as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro y(0)=2. Como e^{0}=1, \operatorname{cosh}(0)=1, \operatorname{sinh}(0)=0, temos
y(0)=C_1+C_2+0-0=C_1+C_2=2.

Passo 9

Precisamos de y'(x). Derivando a expressão geral:
Derivada da homogênea: (C_1 e^{x}+C_2 e^{-x})' = C_1 e^{x}-C_2 e^{-x}.
Derivada de y_p:
\left(\frac{x}{2}\operatorname{cosh} x\right)'=\frac{1}{2}\operatorname{cosh} x+\frac{x}{2}\operatorname{sinh} x, \qquad \left(-\frac{1}{4}\operatorname{sinh} x\right)'=-\frac{1}{4}\operatorname{cosh} x.
Somando:
y_p'(x)=\frac{1}{4}\operatorname{cosh} x+\frac{x}{2}\operatorname{sinh} x.
Logo a derivada total é
y'(x)=C_1 e^{x}-C_2 e^{-x}+\frac{1}{4}\operatorname{cosh} x+\frac{x}{2}\operatorname{sinh} x.
Impondo y'(0)=1 (novamente \cosh0=1 e \sinh0=0) obtemos
y'(0)=C_1-C_2+\frac{1}{4}=1.
Assim
C_1-C_2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}.

Passo 10

Resolvemos o sistema linear para C_1\) e \(C_2\): \[\begin{cases} C_1+C_2=2,\\[4pt] C_1-C_2=\tfrac{3}{4}. \end{cases}
Somando as duas equações: 2C_1=2+\tfrac{3}{4}=\tfrac{11}{4}\], então \(C_1=\tfrac{11}{8}.
Substituindo em C_1+C_2=2 C_2=2-\tfrac{11}{8}=\tfrac{5}{8}.]

Passo 11

Substituímos C_1 e C_2 na solução geral. Assim
y(x)=\frac{11}{8}e^{x}+\frac{5}{8}e^{-x}+\frac{x}{2}\operatorname{cosh} x-\frac{1}{4}\operatorname{sinh} x.
Podemos simplificar combinando os termos exponenciais em funções hiperbólicas. Observando que
\frac{11}{8}e^{x}+\frac{5}{8}e^{-x}=(\tfrac{11}{8}+\tfrac{5}{8})\operatorname{cosh} x+(\tfrac{11}{8}-\tfrac{5}{8})\operatorname{sinh} x =2\operatorname{cosh} x+\tfrac{3}{4}\operatorname{sinh} x,
somando y_p obtemos uma forma mais compacta:
y(x)=\Bigl(2+\frac{x}{2}\Bigr)\operatorname{cosh} x+\frac{1}{2}\operatorname{sinh} x.
Essa expressão é equivalente à anterior, e é conveniente para interpretação.

Resposta

\displaystyle y(x)=\Bigl(2+\frac{x}{2}\Bigr)\operatorname{cosh} x+\frac{1}{2}\operatorname{sinh} x

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