Determine a solução para cada um dos seguintes problemas de valor inicial, utilizando o método de Variação de Parâmetros:
EDO: y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=x^{-2} e^{2 x}, \quad x> 0
Condições Iniciais: y(1)=e^{2}, y^{\prime}(1)=0

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais. Dados importantes:
y''-4y'+4y = x^{-2}e^{2x},\quad x>0
Condições iniciais:
y(1)=e^{2},\qquad y'(1)=0.
O problema pede: encontrar a solução que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais, usando o método de variação de parâmetros. Aqui a função do lado direito (termo não-homogéneo) é \,g(x)=x^{-2}e^{2x}\,.

Passo 2

Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y''-4y'+4y=0.
Formamos a equação característica:
r^{2}-4r+4=0.
Resolvendo:
r=(4\pm\sqrt{16-16})/2=2,
temos raiz dupla r=2. Para raiz dupla as duas soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{2x},\qquad y_{2}(x)=x e^{2x}.
Essas duas funções são linearmente independentes e formam uma base para as soluções da homogênea.

Passo 3

Vamos calcular o Wronskiano W das soluções y_{1} e y_{2}. Definição:
W(x)=\begin{vmatrix} y_{1} & y_{2} \\\ y_{1}' & y_{2}' \end{vmatrix}=y_{1}y_{2}'-y_{1}'y_{2}.
Calculamos as derivadas:
y_{1}'(x)=2e^{2x},\qquad y_{2}'(x)=e^{2x}+2x e^{2x}=e^{2x}(1+2x).
Logo
W(x)=e^{2x}\cdot e^{2x}(1+2x)-2e^{2x}\cdot x e^{2x}=e^{4x}\big((1+2x)-2x\big)=e^{4x}.
Portanto W(x)=e^{4x}, que é não nulo para todo x, como esperado.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula de variação de parâmetros para equação de segunda ordem na forma padrão. Se y_{1},y_{2} são soluções da homogênea e g(x) é o termo não-homogéneo (lado direito), então podemos buscar uma particular na forma
y_{p}=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x),
com u_{1}',u_{2}' dados por as fórmulas
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}(x)\,g(x)}{W(x)},\qquad u_{2}'(x)=\frac{y_{1}(x)\,g(x)}{W(x)}.
Aqui g(x)=x^{-2}e^{2x} e W(x)=e^{4x}.

Passo 5

Substituímos y_{1},y_{2},g,W nas fórmulas de u_{1}' e u_{2}':
u_{1}'(x)=-\frac{y_{2}g}{W}=-\frac{(x e^{2x})\,(x^{-2}e^{2x})}{e^{4x}},
u_{2}'(x)=\frac{y_{1}g}{W}=\frac{(e^{2x})\,(x^{-2}e^{2x})}{e^{4x}}.
Simplificando os expoentes e potências de x:
u_{1}'(x)=-\frac{x\cdot x^{-2}\cdot e^{4x}}{e^{4x}}=-x^{-1}=-\frac{1}{x},
u_{2}'(x)=\frac{x^{-2}\cdot e^{4x}}{e^{4x}}=x^{-2}=\frac{1}{x^{2}}.

Passo 6

Integramos para obter u_{1} e u_{2}. Como constantes de integração podem ser absorvidas na solução homogênea, podemos tomar antiderivadas particulares (sem constantes):
u_{1}(x)=\int u_{1}'(x)\,dx=\int -\frac{1}{x}\,dx=-\ln x,
u_{2}(x)=\int u_{2}'(x)\,dx=\int \frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}.
Observação: \ln x faz sentido porque x>0 (domínio dado).

Passo 7

Montamos a solução particular:
y_{p}(x)=u_{1}(x)y_{1}(x)+u_{2}(x)y_{2}(x)=(-\ln x)\,e^{2x}+\big(-\tfrac{1}{x}\big)\,x e^{2x}.
Simplificando o segundo termo:
y_{p}(x)=-e^{2x}\ln x - e^{2x} = -e^{2x}(\ln x +1).

Passo 8

A solução geral da equação não-homogênea é soma da homogênea com a particular:
y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}x e^{2x}-e^{2x}(\ln x +1).
Para organizar, escrevemos
y(x)=e^{2x}\big(C_{1}+C_{2}x-(\ln x +1)\big).
Agora aplicamos as condições iniciais em x=1. Primeiro y(1)=e^{2}. Usando a expressão:
y(1)=e^{2}\big(C_{1}+C_{2}\cdot 1-(\ln 1 +1)\big).
Como \ln 1=0, obtemos
e^{2}\big(C_{1}+C_{2}-1\big)=e^{2}.
Dividindo por e^{2}:
C_{1}+C_{2}-1=1\quad\Rightarrow\quad C_{1}+C_{2}=2.

Passo 9

Agora precisamos y'(x) para aplicar y'(1)=0. É mais prático derivar a forma fatorada y(x)=e^{2x}u(x) com u(x)=C_{1}+C_{2}x-(\ln x+1). Pela regra do produto:
y'(x)=2e^{2x}u(x)+e^{2x}u'(x)=e^{2x}\big(2u(x)+u'(x)\big).
Calculamos u'(x):
u'(x)=C_{2}-\frac{1}{x}.
Logo
y'(x)=e^{2x}\Big(2\big(C_{1}+C_{2}x-(\ln x+1)\big)+C_{2}-\frac{1}{x}\Big).
Agora avaliamos em x=1. Sabendo \ln 1=0:
y'(1)=e^{2}\Big(2(C_{1}+C_{2}-1)+C_{2}-1\Big)=e^{2}\big(2C_{1}+2C_{2}-2+C_{2}-1\big).
Simplificando:
y'(1)=e^{2}\big(2C_{1}+3C_{2}-3\big).
A condição y'(1)=0 implica
2C_{1}+3C_{2}-3=0\quad\Rightarrow\quad 2C_{1}+3C_{2}=3.

Passo 10

Resolvemos o sistema linear formado pelas duas equações:
\begin{cases} C_{1}+C_{2}=2,\\[4pt] 2C_{1}+3C_{2}=3. \end{cases}
Da primeira C_{1}=2-C_{2}. Substituindo na segunda:
2(2-C_{2})+3C_{2}=3 \Rightarrow 4-2C_{2}+3C_{2}=3 \Rightarrow 4+C_{2}=3 \Rightarrow C_{2}=-1.
Então C_{1}=2-(-1)=3.]

Passo 11

Substituímos C_{1}=3 e C_{2}=-1 na solução geral:
y(x)=e^{2x}\big(3- x -(\ln x +1)\big)=e^{2x}\big(2 - x -\ln x\big).
Essa é a solução que satisfaz a EDO e as condições iniciais para x>0.

Resposta

y(x)=e^{2x}\big(2 - x -\ln x\big)

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