Determine a solução para cada um dos seguintes problemas de valor inicial, utilizando o método de Variação de Parâmetros:
EDO: y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+4 y=x^{-2} e^{2 x}, \quad x> 0
Condições Iniciais: y(1)=e^{2}, y^{\prime}(1)=0
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial e as condições iniciais. Dados importantes:
y''-4y'+4y = x^{-2}e^{2x},\quad x>0
Condições iniciais:
y(1)=e^{2},\qquad y'(1)=0.
O problema pede: encontrar a solução que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais, usando o método de variação de parâmetros. Aqui a função do lado direito (termo não-homogéneo) é \,g(x)=x^{-2}e^{2x}\,.
Passo 2
Primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada:
y''-4y'+4y=0.
Formamos a equação característica:
r^{2}-4r+4=0.
Resolvendo:
r=(4\pm\sqrt{16-16})/2=2,
temos raiz dupla r=2. Para raiz dupla as duas soluções fundamentais são
y_{1}(x)=e^{2x},\qquad y_{2}(x)=x e^{2x}.
Essas duas funções são linearmente independentes e formam uma base para as soluções da homogênea.
Passo 3
Vamos calcular o Wronskiano W das soluções y_{1} e y_{2}. Definição:
W(x)=e^{2x}\cdot e^{2x}(1+2x)-2e^{2x}\cdot x e^{2x}=e^{4x}\big((1+2x)-2x\big)=e^{4x}.
Portanto W(x)=e^{4x}, que é não nulo para todo x, como esperado.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula de variação de parâmetros para equação de segunda ordem na forma padrão. Se y_{1},y_{2} são soluções da homogênea e g(x) é o termo não-homogéneo (lado direito), então podemos buscar uma particular na forma
Integramos para obter u_{1} e u_{2}. Como constantes de integração podem ser absorvidas na solução homogênea, podemos tomar antiderivadas particulares (sem constantes):
Agora precisamos y'(x) para aplicar y'(1)=0. É mais prático derivar a forma fatorada y(x)=e^{2x}u(x) com u(x)=C_{1}+C_{2}x-(\ln x+1). Pela regra do produto: