Determine o pH de uma solução de cloreto de trimetilamônio 0,1 \mathrm{~mol} / \mathrm{L} . \mathrm{k}_{\mathrm{a}}=7,1 \times 10^{-4}. Resp.: \mathrm{pH}=2,07

Passo 1

O enunciado pede para determinar o pH de uma solução de cloreto de trimetilamônio com concentração 0,1\\ \mathrm{mol/L} e informa que \mathrm{k}_{\mathrm{a}}=7,1\times 10^{-4}.
Dados relevantes:
  • Concentração inicial do cátion ácido (trimetilamônio), que chamarei de BH^+: \;[BH^+]_0=0,1.
  • Constante de acidez da espécie BH^+: \;\mathrm{K_a}=7,1\times 10^{-4}.
  • Objetivo: calcular o pH da solução, isto é, \mathrm{pH}=-\log_{10}([H_3O^+]).

Passo 2

Entendendo o que acontece na solução (aula rapidinha): o íon trimetilamônio BH^+ é o ácido conjugado da base fraca B (trimetilamina). Em água ele sofre hidrólise ácida:
BH^+ + H_2O \rightleftharpoons B + H_3O^+
A constante de acidez \mathrm{K_a} para essa reação é definida por
\mathrm{K_a}=\frac{[B]\,[H_3O^+]}{[BH^+]}.
Aqui, [B] é a concentração do base livre formada, [H_3O^+] é a concentração de íons hidrônio gerada pela hidrólise e [BH^+] é a concentração do ácido restante no equilíbrio. Vou chamar a variação em equilíbrio de x, que será igual à quantidade de H_3O^+ formada.

Passo 3

Montando uma tabela “ICE” (Initial, Change, Equilibrium) simples:
  • Inicial: [BH^+]_0=0,1,\quad [B]_0\approx 0,\quad [H_3O^+]_0 desprezível frente ao que a hidrólise vai produzir.
  • Variação: BH^+ perde x, B ganha x, H_3O^+ ganha x.
  • Equilíbrio:
[ BH^+ ] = 0,1 - x,\qquad [B]=x,\qquad [H_3O^+]=x.
Substituindo na expressão de \mathrm{K_a}:
\mathrm{K_a}=\frac{x\cdot x}{0,1 - x}=\frac{x^2}{0,1 - x}.
Essa é a equação exata que relaciona x com os dados.

Passo 4

Primeiro método (aproximação usual, mais simples): se x for muito menor que 0,1 (ou seja, se a dissociação for pequena), podemos aproximar 0,1-x\approx 0,1. Assim
x^2\approx \mathrm{K_a}\cdot 0,1
e portanto
x\approx \sqrt{\mathrm{K_a}\cdot 0,1}.
Agora calculamos numericamente:
\mathrm{K_a}\cdot 0,1 = 7,1\times 10^{-4}\times 0,1 = 7,1\times 10^{-5}.
Calcule a raiz:
x\approx \sqrt{7,1\times 10^{-5}}.
Para estimar: \sqrt{7,1}\approx 2,6646 e \sqrt{10^{-5}}=10^{-2,5}\approx 3,1623\times 10^{-3}. Multiplicando,
x\approx 2,6646\times 3,1623\times 10^{-3}\approx 8,425\times 10^{-3}.
Logo [H_3O^+]\approx 8,425\times 10^{-3}. O pH é
\mathrm{pH}=-\log_{10}(8,425\times 10^{-3})=-\big(\log_{10}(8,425)-3\big)=3-\log_{10}(8,425).
Como \log_{10}(8,425)\approx 0,925,
\mathrm{pH}\approx 3-0,925=2,075\approx 2,07.
Então pela aproximação obtemos \mathrm{pH}\approx 2,07, que coincide com a resposta indicada.

Passo 5

Verificação e refinamento (checando se a aproximação foi válida): a regra prática diz que a aproximação 0,1-x\approx 0,1 é aceitável se x/0,1<5\%. Aqui
\frac{x}{0,1}\approx \frac{8,425\times 10^{-3}}{0,1}=0,08425=8,425\%,
ou seja, um pouco maior que 5\% — a aproximação é razoável, porém um pouco além do critério estrito. Para ver a correção exata, resolvemos a equação quadrática completa. Partindo de
\frac{x^2}{0,1-x}=\mathrm{K_a},
temos
x^2+\mathrm{K_a}\,x-\mathrm{K_a}\cdot 0,1=0.
Aplicando a fórmula de Bhaskara (apenas a raiz positiva interessa),
x=\frac{-\mathrm{K_a}+\sqrt{\mathrm{K_a}^2+4\,\mathrm{K_a}\cdot 0,1}}{2}.
Calculando numericamente:
\mathrm{K_a}^2=(7,1\times 10^{-4})^2\approx 5,041\times 10^{-7},
4\,\mathrm{K_a}\cdot 0,1=4\times 7,1\times 10^{-5}=2,84\times 10^{-4},
\mathrm{K_a}^2+4\,\mathrm{K_a}\cdot 0,1\approx 2,845041\times 10^{-4},
\sqrt{\mathrm{K_a}^2+4\,\mathrm{K_a}\cdot 0,1}\approx 1,6868\times 10^{-2}.
Então
x\approx \frac{-7,1\times 10^{-4}+1,6868\times 10^{-2}}{2}\approx 8,079\times 10^{-3}.
Isso dá [H_3O^+]\approx 8,079\times 10^{-3} e
\mathrm{pH}=-\log_{10}(8,079\times 10^{-3})\approx 2,09.
A diferença entre a aproximação ( 2,07) e a solução exata ( 2,09) é pequena; a aproximação usada no Passo 4 fornece o valor esperado pelo enunciado e é aceitável para cálculo rápido em prova.

Resposta

pH = 2,07

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