Deixa-se cair um corpo de
de massa sem velocidade inicial. Suponha que a resistência do ar seja proporcional ao quadrado da velocidade. Determine a expressão da velocidade do corpo no instante
. Para facilitar a notação suponha que a constante de proporcionalidade seja 4.
Passo 1
O enunciado pede a velocidade do corpo no instante
quando ele é largado com velocidade inicial nula e sofre resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade, com constante de proporcionalidade igual a
. Dados fornecidos:
,
constante de resistência (unidade implícita),
condição inicial .
O que queremos: encontrar uma expressão para . Não foi dado explicitamente o valor de
, então vou manter
simbólico e depois posso substituir
para obter valores numéricos.
constante de resistência
condição inicial
O que queremos: encontrar uma expressão para
Passo 2
Modelagem física e escolha de sinal: escolho eixo positivo para baixo (assim a gravidade puxa na direção positiva). As forças relevantes são:
- peso:
para baixo; - resistência do ar: de módulo
e que aponta para cima (ou seja, contrária ao movimento), portanto contribui como no eixo escolhido.
Pela segunda lei de Newton,
Expliquei o sinal do termo
porque a resistência é contrária ao sentido da velocidade.
Passo 3
Coloco a equação na forma padrão para separar variáveis. Dividindo por
,
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável: todas as dependências em
de um lado e
do outro. Escrevo
Agora vamos integrar ambos os lados para obter
.
Passo 4
Para integrar de forma mais clara, introduzo a velocidade limite (velocidade terminal)
definida pela condição de equilíbrio
. Assim,
Isso é útil porque permite reescrever o denominador:
Substituir isso simplifica a integral.
Passo 5
Faço a substituição
, então
. A integral fica
Agora preciso integrar
. Uma identidade padrão é
portanto
Aplicando isso:
Passo 6
Uso a condição inicial
. Em
a expressão dá
, e
, logo
. Assim
Isolando
e aplicando a função inversa
,
Portanto a solução geral é
Passo 7
Reescrevo a solução em termos das constantes
e
. Lembre que
. Então
Substituindo em
,
Agora substituo
e
. Mantendo
simbólico temos
Se quiser um valor numérico usando
, calculo os fatores:
logo numericamente
Observação física útil: quando
,
e
, ou seja a velocidade tende à velocidade terminal
.