Deixa-se cair um corpo de 2,548 \mathrm{~kg} de massa sem velocidade inicial. Suponha que a resistência do ar seja proporcional ao quadrado da velocidade. Determine a expressão da velocidade do corpo no instante t. Para facilitar a notação suponha que a constante de proporcionalidade seja 4.

Passo 1

O enunciado pede a velocidade do corpo no instante t quando ele é largado com velocidade inicial nula e sofre resistência do ar proporcional ao quadrado da velocidade, com constante de proporcionalidade igual a 4. Dados fornecidos:
m=2{,}548\\ \mathrm{kg},
constante de resistência k=4 (unidade implícita),
condição inicial v(0)=0.
O que queremos: encontrar uma expressão para v(t). Não foi dado explicitamente o valor de g, então vou manter g simbólico e depois posso substituir g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2} para obter valores numéricos.

Passo 2

Modelagem física e escolha de sinal: escolho eixo positivo para baixo (assim a gravidade puxa na direção positiva). As forças relevantes são:
  • peso: mg para baixo;
  • resistência do ar: de módulo k v^2 e que aponta para cima (ou seja, contrária ao movimento), portanto contribui como -k v^2 no eixo escolhido.
    Pela segunda lei de Newton,
m\frac{dv}{dt}=mg - k v^2.
Expliquei o sinal do termo -k v^2 porque a resistência é contrária ao sentido da velocidade.

Passo 3

Coloco a equação na forma padrão para separar variáveis. Dividindo por m,
\frac{dv}{dt}=g - \frac{k}{m}v^2.
Isto é uma equação diferencial ordinária de primeira ordem e separável: todas as dependências em v de um lado e t do outro. Escrevo
\frac{dv}{g - \dfrac{k}{m}v^2}=dt.
Agora vamos integrar ambos os lados para obter v(t).

Passo 4

Para integrar de forma mais clara, introduzo a velocidade limite (velocidade terminal) v_T definida pela condição de equilíbrio mg = k v_T^2. Assim,
v_T=\sqrt{\frac{m g}{k}}.
Isso é útil porque permite reescrever o denominador:
g - \frac{k}{m}v^2 = g\left(1 - \frac{v^2}{v_T^2}\right).
Substituir isso simplifica a integral.

Passo 5

Faço a substituição u=\dfrac{v}{v_T}, então dv=v_T\,du. A integral fica
\int \frac{dv}{g\left(1-\dfrac{v^2}{v_T^2}\right)}=\int dt \quad\Longrightarrow\quad \frac{v_T}{g}\int \frac{du}{1-u^2}=t+C.
Agora preciso integrar \int \dfrac{du}{1-u^2}. Uma identidade padrão é
\frac{d}{du}\big(\operatorname{arctanh} u\big)=\frac{1}{1-u^2},
portanto
\int \frac{du}{1-u^2}=\operatorname{arctanh} u + \text{const}.
Aplicando isso:
\frac{v_T}{g}\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{v}{v_T}\right)=t+C.

Passo 6

Uso a condição inicial v(0)=0. Em t=0 a expressão dá \dfrac{v_T}{g}\operatorname{arctanh}(0)=C, e \operatorname{arctanh}(0)=0, logo C=0. Assim
\frac{v_T}{g}\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{v}{v_T}\right)=t.
Isolando \operatorname{arctanh} e aplicando a função inversa \operatorname{tanh},
\operatorname{arctanh}\!\left(\frac{v}{v_T}\right)=\frac{g}{v_T}\,t \quad\Longrightarrow\quad \frac{v}{v_T}=\operatorname{tanh}\!\left(\frac{g}{v_T}\,t\right).
Portanto a solução geral é
v(t)=v_T\,\operatorname{tanh}\!\left(\frac{g}{v_T}\,t\right).

Passo 7

Reescrevo a solução em termos das constantes m e k. Lembre que v_T=\sqrt{\dfrac{m g}{k}}. Então
\frac{g}{v_T}=\frac{g}{\sqrt{\dfrac{m g}{k}}}=\sqrt{\frac{gk}{m}}.
Substituindo em v(t),
v(t)=\sqrt{\frac{m g}{k}}\;\operatorname{tanh}\!\left(t\sqrt{\frac{gk}{m}}\right).
Agora substituo k=4 e m=2{,}548. Mantendo g simbólico temos
v(t)=\sqrt{\frac{2{,}548\,g}{4}}\;\operatorname{tanh}\!\left(t\sqrt{\frac{4\,g}{2{,}548}}\right).
Se quiser um valor numérico usando g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}, calculo os fatores:
v_T=\sqrt{\frac{2{,}548\cdot 9{,}8}{4}}\approx 2{,}4985\\ \mathrm{m/s},
\sqrt{\frac{gk}{m}}=\sqrt{\frac{9{,}8\cdot 4}{2{,}548}}\approx 3{,}9236\\ \mathrm{s^{-1}},
logo numericamente
v(t)\approx 2{,}4985\\ \operatorname{tanh}(3{,}9236\,t)\quad(\mathrm{m/s}).
Observação física útil: quando t\to\infty, \operatorname{tanh}\to 1 e v(t)\to v_T, ou seja a velocidade tende à velocidade terminal \sqrt{\dfrac{m g}{k}}.

Resposta

v(t)=\sqrt{\dfrac{m g}{k}}\;\operatorname{tanh}\!\left(t\sqrt{\dfrac{gk}{m}}\right) com m=2{,}548 e k=4.\n v(t)=\sqrt{\dfrac{2{,}548\,g}{4}}\;\operatorname{tanh}\!\left(t\sqrt{\dfrac{4\,g}{2{,}548}}\right)\n(Para g=9{,}8\\ \mathrm{m/s^2}: v(t)\approx 2{,}4985\\ \operatorname{tanh}(3{,}9236\,t)\\ \mathrm{m/s}.)

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