Determine uma solução contínua do PVI
l y^prime+y=f(x) y(0)=0 onde f(x)= 1, & se 0 <= x <= 1, 0, & se x>1

Passo 1

Resumo do enunciado: PVI y'+y=f(x) com y(0)=0 e f(x)=1 para 0<= x<=1, f(x)=0 para x>1. O conteúdo é EDO linear de 1ª ordem e usaremos método do fator integrante.

Passo 2

No intervalo 0<= x<=1, temos f(x)=1. O fator integrante é mu(x)=e^integral1,dx=e^x. Multiplicando a EDO por mu(x) obtemos em bloco:
ddxl(e^x yr)=e^x
Integrando de 0 a x e usando y(0)=0 resulta:
e^x y=integral0^x e^s,ds=e^x-1
Logo,
y=1-e^-x

Passo 3

Para x>1, f(x)=0 e a EDO vira y'+y=0. A solução geral é
y=C e^-x
Impondo continuidade em x=1: y(1^-)=1-e^-1 deve igualar y(1^+)=C e^-1, o que dá C=e-1. Assim,
y=(e-1)e^-x

Resposta

y(x)=1-e^-x,&0<= x<=1,(e-1)e^-x,&x>1

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