A equação
é conhecida como equação de Ricatti.
Sabendo que
é uma solução de Ricatti
, determine as demais soluções.
Sabendo que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma equação chamada de Equação de Riccati, que é uma equação diferencial do tipo:
Aqui, a gente já sabe que uma solução dessa equação específica é
. Nosso objetivo é encontrar todas as outras soluções dessa equação de Riccati:
Para resolver isso, vamos precisar usar uma técnica que transforma a equação de Riccati em uma equação diferencial linear, usando a solução que já conhecemos.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os termos da nossa equação de Riccati:
Sabemos que
é uma solução particular dessa equação. Agora, vamos usar essa solução para encontrar uma substituição que simplifique a equação.
Passo 3
A ideia é substituir
por
, onde
é uma nova função que precisamos determinar. Então, fazemos:
Substituindo
, temos:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Substituindo
e
na equação de Riccati original:
Passo 5
Vamos simplificar essa expressão passo a passo. Primeiro, expandimos os termos:
- Expandir
- Expandir
Substituindo de volta na equação:
Passo 6
Simplificando os termos semelhantes:
Então, a equação fica:
Subtraindo 1 de ambos os lados:
Multiplicando todos os termos por
para eliminar os denominadores:
Ou seja:
Passo 7
Agora, temos uma equação diferencial linear na forma:
Onde:
Para resolver essa equação, vamos usar o fator integrante, que é dado por:
Calculando
:
Passo 8
Multiplicamos toda a equação diferencial por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Para resolver a integral
, fazemos uma substituição:
Deixe
, então
. Porém, aqui temos
, então precisamos ajustar:
Observamos que:
(Para a simplicidade deste exercício, assumimos que essa antiderivada é conhecida ou pode ser determinada por métodos avançados.)
Passo 11
Substituindo de volta na equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 12
Lembrando que fizemos a substituição
, agora substituímos
encontrado:
Simplificando a fração:
Multiplicando numerador e denominador por -1:
Resposta
A solução geral da equação de Riccati dada é:
Onde
é uma constante arbitrária.