A equação
é conhecida como equação de Ricatti.
Mostre que se
e
são soluções da equação de Ricatti, então a função
é solução da equação de Bernoulli
.
Mostre que se
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Riccati, que é uma equação diferencial não linear da forma:
A questão diz que se
e
são soluções dessa equação, então a função
deve satisfazer uma equação de Bernoulli, que é outra forma de equação diferencial. Nossa missão é provar isso passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
e
são soluções da equação de Riccati. Isso significa que elas satisfazem:
e
Passo 3
Agora, vamos definir
. Nosso objetivo é encontrar uma equação que
satisfaz. Para isso, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 4
Substituímos as expressões de
e
das equações de Riccati que escrevemos no Passo 2:
Passo 5
Simplificamos a expressão acima:
Os termos
se cancelam:
Passo 6
Fatoramos os termos que possuem
e
:
Lembrando que
, então
e
.
Substituindo:
Passo 7
Fatoramos
:
Podemos reescrever isso como:
Passo 8
Agora, queremos chegar na equação de Bernoulli dada:
Para isso, observe que
, já que
, então
.
Substituindo na expressão anterior:
Distribuindo
:
Resposta
Assim, mostramos que a função
satisfaz a equação de Bernoulli: