A equação y^prime+p(x) y+q(x) y^2=f(x) é conhecida como equação de Ricatti.
Mostre que se y1(x) e y2(x) são soluções da equação de Ricatti, então a função z(x)=y2(x)-y1(x) é solução da equação de Bernoulli z^prime+(p+2 y2 q) z-q z^2=0.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma equação de Riccati, que é uma equação diferencial não linear da forma:
y^prime + p(x) y + q(x) y^2 = f(x)
A questão diz que se y1(x) e y2(x) são soluções dessa equação, então a função z(x) = y2(x) - y1(x) deve satisfazer uma equação de Bernoulli, que é outra forma de equação diferencial. Nossa missão é provar isso passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que y1(x) e y2(x) são soluções da equação de Riccati. Isso significa que elas satisfazem:
y1^prime + p(x) y1 + q(x) y1^2 = f(x)
e
y2^prime + p(x) y2 + q(x) y2^2 = f(x)

Passo 3

Agora, vamos definir z(x) = y2(x) - y1(x). Nosso objetivo é encontrar uma equação que z(x) satisfaz. Para isso, vamos calcular a derivada de z(x) em relação a x:
z^prime = y2^prime - y1^prime

Passo 4

Substituímos as expressões de y1^prime e y2^prime das equações de Riccati que escrevemos no Passo 2:
z^prime = [ f(x) - p(x) y2 - q(x) y2^2 ] - [ f(x) - p(x) y1 - q(x) y1^2 ]

Passo 5

Simplificamos a expressão acima:
z^prime = f(x) - p(x) y2 - q(x) y2^2 - f(x) + p(x) y1 + q(x) y1^2
Os termos f(x) se cancelam:
z^prime = - p(x) y2 - q(x) y2^2 + p(x) y1 + q(x) y1^2

Passo 6

Fatoramos os termos que possuem p(x) e q(x):
z^prime = p(x)(y1 - y2) + q(x)(y1^2 - y2^2)
Lembrando que z = y2 - y1, então y1 - y2 = -z e y1^2 - y2^2 = (y1 - y2)(y1 + y2) = -z(y1 + y2).
Substituindo:
z^prime = -p(x) z + q(x)(-z)(y1 + y2)
z^prime = -p(x) z - q(x) z (y1 + y2)

Passo 7

Fatoramos z:
z^prime = z ( -p(x) - q(x)(y1 + y2) )
Podemos reescrever isso como:
z^prime + ( p(x) + q(x)(y1 + y2) ) z = 0

Passo 8

Agora, queremos chegar na equação de Bernoulli dada:
z^prime + ( p(x) + 2 y2 q(x) ) z - q(x) z^2 = 0
Para isso, observe que y1 + y2 = 2 y2 - z, já que z = y2 - y1, então y1 = y2 - z.
Substituindo na expressão anterior:
z^prime + ( p(x) + q(x)(2 y2 - z) ) z = 0
z^prime + ( p(x) + 2 y2 q(x) - q(x) z ) z = 0
Distribuindo z:
z^prime + ( p(x) + 2 y2 q(x) ) z - q(x) z^2 = 0

Resposta

Assim, mostramos que a função z(x) = y2(x) - y1(x) satisfaz a equação de Bernoulli:
z^prime + ( p(x) + 2 y2(x) q(x) ) z - q(x) z^2 = 0

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