Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
t cdot d yd x+2 y(x)=4 x^2, y(1)=2, x>0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem:
t cdot dydx + 2 y(x) = 4 x^2
com a condição inicial e . Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver EDOs lineares de primeira ordem.

Passo 2

Vamos reescrever a equação de forma padrão. Dividindo todos os termos por dydx + 2x y = 4 x (ou dydx + P(x) y = Q(x) , assumindo que ):
Aqui, identificamos que a equação está na forma:
onde e .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar o fator integrante mu(x) = e^integral P(x) dx , que é dado por:
integral 2x dx = 2 ln|x|
Calculando a integral de mu(x) = e^2 ln|x| = x^2 :
Então:

Passo 4

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante x^2 cdot dydx + 2x y = 4x^3 :
ddx(x^2 y) = 4x^3
Isso simplifica a equação para uma forma que pode ser escrita como a derivada de um produto:

Passo 5

Agora, integramos ambos os lados em relação a integral ddx(x^2 y) dx = integral 4x^3 dx :
x^2 y = x^4 + C
O lado esquerdo simplifica para , e a integral do lado direito é:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Resolvendo para y = x^4 + Cx^2 = x^2 + Cx^2 :

Passo 7

Aplicamos a condição inicial 2 = 1^2 + C1^2 para encontrar 2 = 1 + C :
C = 1

Resposta

A solução da EDO e PVI é:
y(x) = x^2 + 1x^2

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