Resolva as EDOs e PVIs lineares de primeira ordem:
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear de primeira ordem:
com a condição inicial
e
. Para resolver isso, vamos usar o método do fator integrante, que é uma técnica para resolver EDOs lineares de primeira ordem.
Passo 2
Vamos reescrever a equação de forma padrão. Dividindo todos os termos por
(ou
, assumindo que
):
Aqui, identificamos que a equação está na forma:
onde
e
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Então:
Passo 4
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Isso simplifica a equação para uma forma que pode ser escrita como a derivada de um produto:
Passo 5
Agora, integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo simplifica para
, e a integral do lado direito é:
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Resolvendo para
:
Passo 7
Aplicamos a condição inicial
para encontrar
:
Resposta
A solução da EDO e PVI é: