1. Determine a solução contínua do PVI
\left\{\begin{aligned} y^{\prime}(x)+2 y(x) & =f(x) \\\ y(0) & =0 \end{aligned}\right.
onde a função f(x) é dada por
f(x)=\left\{\begin{aligned} 0, & \text { se } x<1 \\ e^{-x}, & \text { se } 1 \leq x \leq 2 \\ 0, & \text { se } x>2 \end{aligned}\right.

Passo 1

O enunciado dá o PVI
\begin{cases} y'(x)+2\,y(x)=f(x),\\\ y(0)=0, \end{cases}
onde
f(x)= \begin{cases} 0, & x<1,\\\ e^{-x}, & 1\le x\le2,\\\\ 0, & x>2. \end{cases}
Isso é uma EDO linear de 1ª ordem. Vamos usar o método do fator integrante e resolver em cada trecho, impondo continuidade.

Passo 2

Para x<1 temos f(x)=0, então a equação é homogênea
y'+2y=0.
O fator integrante é \mu(x)=e^{\int2\,dx}=e^{2x}, logo
(y\,e^{2x})'=0\\ \Rightarrow\\ y\,e^{2x}=C.
Como y(0)=0, segue C=0 e
y(x)=0,\quad x<1.

Passo 3

Para 1\le x\le2 temos f(x)=e^{-x}. Multiplicando por \mu(x)=e^{2x} obtemos
(y\,e^{2x})'=e^{2x}\,e^{-x}=e^{x}.
Integrando de 1 a x:
y(x)\,e^{2x}-y(1)\,e^{2}= \int_{1}^{x}e^{t}\,dt = e^{x}-e^{1}.
Como y(1)=0 (continuidade em x=1), vem
y(x)=e^{-2x}\bigl(e^{x}-e^{1}\bigr) = e^{-x}-e^{1-2x},\quad 1\le x\le2.

Passo 4

Para x>2 volta a ser homogênea y'+2y=0, cuja solução geral é
y(x)=A\,e^{-2x}.
Impondo continuidade em x=2, temos
y(2)=e^{-2}-e^{-3},
logo
A = \bigl(e^{-2}-e^{-3}\bigr)e^{4}=e^{2}-e^{1}.
Assim
y(x)=(e^{2}-e^{1})\,e^{-2x},\quad x>2.

Resposta

y(x)= \begin{cases} 0, & x<1,\\\ e^{-x}-e^{1-2x}, & 1\le x\le2,\\\ (e^{2}-e^{1})\,e^{-2x}, & x>2. \end{cases}

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