Resolva as EDOs e/ou PVI’s:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial ordinária
com condição inicial
. O conteúdo envolve formas diferenciais não exatas e a busca de um fator integrante adequado, neste caso obtido por mudança de variáveis que elimina termos constantes, convertendo em equação homogênea.
Passo 2
Reescrevendo em forma padrão
, temos
Passo 3
Testamos exatidão:
logo
, não é exata e nenhum fator integrante simples de
ou
funciona diretamente.
Passo 4
Para eliminar termos constantes, fazemos a mudança
Então
e
. Em função de
,
onde agora os coeficientes são homogêneos de grau 1.
Passo 5
Escrevemos a equação em forma de diferencial de
em relação a
:
Como é homogênea, definimos
, ou seja
. Então
e a equação vira
Passo 6
Isolando
e separando variáveis:
Assim
Fazendo frações parciais no lado esquerdo,
integramos:
Multiplicando por 2 e exponenciando,
Passo 7
Voltando às variáveis originais,
e
Isso leva, após simplificar
, a
Usando
, obtemos
Passo 8
Portanto a solução implícita do PVI é