Determine a solução da EDO linear de segunda ordem não homogênea
Passo 1
Resumo do enunciado: a gente quer achar a solução geral da EDO linear de segunda ordem não homogênea
O conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos precisar de: resolver a parte homogênea via equação característica e depois encontrar soluções particulares separadas para o termo polinomial e o termo exponencial, somando tudo no final.
Passo 2
Resolver a equação homogênea associada
Montando a equação característica temos
que dá as raízes
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Procurar solução particular para o termo polinomial
.
Como zero não é raiz da característica, tentamos
Como zero não é raiz da característica, tentamos
Calculando derivadas:
Substituindo em
Igualando coeficientes surge o sistema
de onde
Passo 4
Procurar solução particular para o termo exponencial
.
Como corresponde à raiz simples
, multiplicamos por
e tentamos
Como
Calculando derivadas:
Substituindo em
logo
e
. Assim
Passo 5
Por fim, pelo princípio da superposição a solução geral da EDO não homogênea é a soma da parte homogênea com as duas soluções particulares:
.