Determine a solução da EDO linear de segunda ordem não homogênea
y^prime prime+y^prime-2 y=4 x^2+2 e^x

Passo 1

Resumo do enunciado: a gente quer achar a solução geral da EDO linear de segunda ordem não homogênea
y''+y'-2y=4x^2+2e^x
O conteúdo é equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Vamos precisar de: resolver a parte homogênea via equação característica e depois encontrar soluções particulares separadas para o termo polinomial e o termo exponencial, somando tudo no final.

Passo 2

Resolver a equação homogênea associada
y''+y'-2y=0
Montando a equação característica temos
r^2+r-2=0
que dá as raízes r=1 e r=-2. Logo a solução homogênea é
yh=C1e^x+C2e^-2x

Passo 3

Procurar solução particular para o termo polinomial 4x^2.
Como zero não é raiz da característica, tentamos
yp1=ax^2+bx+c
Calculando derivadas:
yp1'=2ax+b,
yp1''=2a
Substituindo em y''+y'-2y=4x^2 obtemos
2a+(2ax+b)-2(ax^2+bx+c)=-2ax^2+(2a-2b)x+(2a+b-2c)=4x^2
Igualando coeficientes surge o sistema
-2a=4,
2a-2b=0,
2a+b-2c=0,
de onde a=-2, b=-2 e c=-3. Logo
yp1=-2x^2-2x-3

Passo 4

Procurar solução particular para o termo exponencial 2e^x.
Como e^x corresponde à raiz simples r=1, multiplicamos por x e tentamos
yp2=Dx e^x
Calculando derivadas:
yp2'=D e^x(x+1),
yp2''=D e^x(x+2)
Substituindo em y''+y'-2y=2e^x
D e^x(x+2)+D e^x(x+1)-2D x e^x=3D e^x=2e^x,
logo 3D=2 e D=2/3. Assim
yp2=tfrac23x e^x

Passo 5

Por fim, pelo princípio da superposição a solução geral da EDO não homogênea é a soma da parte homogênea com as duas soluções particulares: y=yh+yp1+yp2.

Resposta

y(x)=C1e^x+C2e^-2x-2x^2-2x-3+23x e^x

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