Determine a solução do Problema de Valor Inicial
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Escolha uma opção:
Nenhuma das demais alternativas
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial onde a equação diferencial é $ y’ = y^2 - 1 $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais, especificamente em equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis $ y $ e $ t $. Temos:
Podemos reescrever isso como:
Passo 3
Agora, precisamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma fração que pode ser decomposta em frações parciais. Sabemos que:
Então, integrando:
E a integral do lado direito é simplesmente:
Passo 4
Vamos igualar as integrais e simplificar:
Multiplicando ambos os lados por 2:
Onde $ C’ $ é uma constante ajustada.
Passo 5
Para resolver para $ y $, primeiro removemos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
Onde $ C’’ = e^{C’} $ é uma nova constante.
Passo 6
Vamos resolver para $ y $:
Distribuindo:
Levantando os termos com $ y $ de um lado:
Fatorando $ y $:
Finalmente, isolando $ y $:
Passo 7
Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ C’’ $:
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - C’’ $:
Resolvendo:
Passo 8
Com $ C’’ = 0 $, a solução geral se simplifica para:
No entanto, ao verificar as opções, vemos que nenhuma delas corresponde a $ y(t) = 1 $. Isso sugere que houve um erro na aplicação da condição inicial ou na escolha das alternativas.
Resposta
Nenhuma das demais alternativas