Determine a solução do Problema de Valor Inicial y^prime=y^2-1 ; y(0)=1
Escolha uma opção:
y(t)=43+13 e^3 t
y(t)=e^2 t+1e^2 t-1
y(t)=2 e^t-1
y(t)=32 e^2 t-12
Nenhuma das demais alternativas
y(t)=2 e^2 t1+e^2 t

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse Problema de Valor Inicial onde a equação diferencial é $ y’ = y^2 - 1 $ com a condição inicial $ y(0) = 1 $. Esse tipo de problema está na área de Equações Diferenciais, especificamente em equações separáveis. Para resolver, vamos precisar separar as variáveis e integrar.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para separar as variáveis $ y $ e $ t $. Temos:
y
Podemos reescrever isso como:
t

Passo 3

Agora, precisamos integrar ambos os lados. A integral do lado esquerdo envolve uma fração que pode ser decomposta em frações parciais. Sabemos que:
1y^2 - 1 = 12 ( 1y - 1 - 1y + 1 )
Então, integrando:
integral 1y^2 - 1 dy = 12 ln|y - 1| - 12 ln|y + 1| + C
E a integral do lado direito é simplesmente:
integral dt = t + C

Passo 4

Vamos igualar as integrais e simplificar:
12 ln|y - 1y + 1| = t + C
Multiplicando ambos os lados por 2:
ln|y - 1y + 1| = 2t + C'
Onde $ C’ $ é uma constante ajustada.

Passo 5

Para resolver para $ y $, primeiro removemos o logaritmo exponenciando ambos os lados:
y
Onde $ C’’ = e^{C’} $ é uma nova constante.

Passo 6

Vamos resolver para $ y $:
y
Distribuindo:
y - 1 = C'' e^2t (y + 1)
Levantando os termos com $ y $ de um lado:
y - 1 = C'' e^2t y + C'' e^2t
Fatorando $ y $:
y
Finalmente, isolando $ y $:
y - C'' e^2t y = 1 + C'' e^2t

Passo 7

Agora, aplicamos a condição inicial $ y(0) = 1 $ para encontrar $ C’’ $:
y(0) = 1
Multiplicando ambos os lados por $ 1 - C’’ $:
C''
Resolvendo:
1 = 1 + C''1 - C''

Passo 8

Com $ C’’ = 0 $, a solução geral se simplifica para:
C'' = 0
No entanto, ao verificar as opções, vemos que nenhuma delas corresponde a $ y(t) = 1 $. Isso sugere que houve um erro na aplicação da condição inicial ou na escolha das alternativas.

Resposta

Nenhuma das demais alternativas

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