Encontre a solução da EDO
y^prime prime+9 y=2 cos (3 x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+9y=2cos(3x)
O conteúdo envolvido é encontrar a solução geral a partir da homogênea e de uma particular, usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Começamos pela equação homogênea associada
yh''+9yh=0
A equação característica é r^2+9=0, cujas raízes são r=pm3i. Logo a solução homogênea é
yh=C1cos(3x)+C2sin(3x)

Passo 3

O termo forçante é 2cos(3x), que tem a mesma frequência da solução homogênea (frequência 3). Isso indica ressonância, então multiplicamos a solução particular usual por x. Assim, assumimos
yp=xl(Acos(3x)+Bsin(3x)r)

Passo 4

Agora derivamos yp usando regra do produto. Primeiro
yp=x(Acos3x+Bsin3x),
então
yp'=Acos3x+Bsin3x-3Axsin3x+3Bxcos3x,
yp''=-6Asin3x+6Bcos3x-9Axcos3x-9Bxsin3x

Passo 5

Substituímos em y''+9y e igualamos ao lado direito:
yp''+9yp=-6Asin3x+6Bcos3x=2cos3x
Comparando coeficientes de sin3x e cos3x:
-6A=0 Rightarrow A=0,
6B=2 Rightarrow B=1/3.

Passo 6

Com esses valores, a solução particular fica
yp=x3sin(3x)
e a solução geral da EDO é
y(x)=C1cos3x+C2sin3x+x3sin3x

Resposta

y(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)+\frac{x}{3}\sin(3x)

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