Encontre a solução da EDO
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo envolvido é encontrar a solução geral a partir da homogênea e de uma particular, usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Começamos pela equação homogênea associada
A equação característica é
, cujas raízes são
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
O termo forçante é
, que tem a mesma frequência da solução homogênea (frequência 3). Isso indica ressonância, então multiplicamos a solução particular usual por
. Assim, assumimos
Passo 4
Agora derivamos
usando regra do produto. Primeiro
então
Passo 5
Substituímos em
e igualamos ao lado direito:
Comparando coeficientes de
e
:
-6A=0 ,
6B=2 .
-6A=0
6B=2
Passo 6
Com esses valores, a solução particular fica
e a solução geral da EDO é
Resposta
y(x)=C_{1}\cos(3x)+C_{2}\sin(3x)+\frac{x}{3}\sin(3x)