Resolva as EDOa)
.
b)
.
c)
.
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede para resolver três EDOs lineares com coeficientes constantes: dois casos homogêneos de segunda ordem (itens a e b) e um caso não homogêneo de terceira ordem (item c). Vamos usar a equação característica para achar as soluções das homogêneas e, no caso não homogêneo, aplicar o método de redução de ordem via substituição apropriada.
Passo 2
Para o item a, consideramos a EDO homogênea de segunda ordem
Formamos a equação característica associada
Passo 3
No item b temos outra EDO homogênea de segunda ordem:
A equação característica é
Passo 4
Para o item c, primeiro observamos a parte homogênea de terceira ordem
A equação característica
Passo 5
Agora tratamos o termo não homogêneo usando a observação de que o operador diferencial é
, onde
. Fazendo a substituição
, cada aplicação de
em
corresponde a
. Assim,
A EDO original se reduz a
ou seja
Passo 6
Integramos três vezes para achar uma solução particular de
. Ignorando constantes de integração (elas gerariam parte homogênea já considerada), obtemos:
-
-
-
Logo, a parte particular deé
Passo 7
A solução geral do item c combina a homogênea com a particular:
Resposta
a)
b)
c)