Resolva as EDOa) y^prime prime-4 y^prime-5 y=0.
b) y^prime prime+4 y^prime+13 y=0.
c) y^prime prime prime+3 y^prime prime+3 y^prime+y=(sen x-6) e^-x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver três EDOs lineares com coeficientes constantes: dois casos homogêneos de segunda ordem (itens a e b) e um caso não homogêneo de terceira ordem (item c). Vamos usar a equação característica para achar as soluções das homogêneas e, no caso não homogêneo, aplicar o método de redução de ordem via substituição apropriada.

Passo 2

Para o item a, consideramos a EDO homogênea de segunda ordem
y''-4y'-5y=0
Formamos a equação característica associada lambda^2-4lambda-5=0, cuja solução é lambda=5 ou lambda=-1. Como são raízes reais distintas, a solução geral é
y(x)=C1e^5x+C2e^-x

Passo 3

No item b temos outra EDO homogênea de segunda ordem:
y''+4y'+13y=0
A equação característica é lambda^2+4lambda+13=0 com discriminante De, logo lambda=-2pm3i. Como as raízes são complexas conjugadas, a solução geral é
y(x)=e^-2xl(C3cos(3x)+C4sin(3x)r)

Passo 4

Para o item c, primeiro observamos a parte homogênea de terceira ordem
y'''+3y''+3y'+y=0
A equação característica lambda^3+3lambda^2+3lambda+1=(lambda+1)^3=0 tem raiz real lambda=-1 de multiplicidade 3. Portanto, a solução geral homogênea é
yh(x)=e^-x(A+Bx+Cx^2)

Passo 5

Agora tratamos o termo não homogêneo usando a observação de que o operador diferencial é (D+1)^3, onde D=tfracddx. Fazendo a substituição y=e^-xu(x), cada aplicação de D+1 em y corresponde a e^-xu'. Assim,
(D+1)^3y=e^-xu'''(x)
A EDO original se reduz a
e^-xu'''(x)=(sin x-6)e^-x,
ou seja
u'''(x)=sin x-6

Passo 6

Integramos três vezes para achar uma solução particular de u'''(x)=sin x-6. Ignorando constantes de integração (elas gerariam parte homogênea já considerada), obtemos:
  1. u''(x)=integral(sin x-6)dx=-cos x-6x
  2. u'(x)=integral(-cos x-6x)dx=-sin x-3x^2
  3. up(x)=integral(-sin x-3x^2)dx=cos x-x^3
    Logo, a parte particular de y é
yp(x)=e^-xup(x)=e^-x(cos x-x^3)

Passo 7

A solução geral do item c combina a homogênea com a particular:
y(x)=yh(x)+yp(x)=e^-xl(C5+C6x+C7x^2+cos x-x^3r)

Resposta

a) y(x)=C1e^5x+C2e^-x b) y(x)=e^-2xl(C3cos(3x)+C4sin(3x)r) c) y(x)=e^-xl(C5+C6x+C7x^2+cos x-x^3r)

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