Determine a solução da EDO(y(x)) sujeito a condição inicial y(0)= -1 .
d yd x=xy

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada por dydx = xy, com a condição inicial y(0) = -1. Basicamente, vamos resolver essa equação para descobrir como y varia conforme x. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, como separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis y e x. A equação é dydx = xy. Podemos multiplicar ambos os lados por y e dx para ficar:
y , dy = x , dx
Agora, temos os termos com y de um lado e os termos com x do outro, facilitando a integração.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de y , dy é y^22 e a integral de x , dx é x^22. Então, temos:
integral y , dy = integral x , dx
y^22 = x^22 + C
Onde C é a constante de integração que precisamos determinar.

Passo 4

Vamos simplificar a equação multiplicando todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
y^2 = x^2 + 2C
Podemos escrever 2C como uma nova constante, digamos C'. Então, a equação fica:
y^2 = x^2 + C'

Passo 5

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de C'. Sabemos que quando x = 0, y = -1. Substituindo esses valores na equação:
(-1)^2 = 0^2 + C'
1 = 0 + C' implies C' = 1

Passo 6

Com o valor de C', nossa equação fica:
y^2 = x^2 + 1
Para encontrar y, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
y = pm raizx^2 + 1

Passo 7

Precisamos decidir qual sinal usar na solução. Lembrando a condição inicial y(0) = -1, substituindo x = 0:
y = pm raiz0 + 1 = pm 1
Como y(0) = -1, escolhemos o sinal negativo. Portanto, a solução é:
y = -raizx^2 + 1

Resposta

A solução da equação diferencial é y(x) = -raizx^2 + 1.

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