Determine a solução da
sujeito a condição inicial
-1 .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente encontrar a solução da equação diferencial ordinária (EDO) dada por
, com a condição inicial
. Basicamente, vamos resolver essa equação para descobrir como
varia conforme
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais, como separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis
e
. A equação é
. Podemos multiplicar ambos os lados por
e
para ficar:
Agora, temos os termos com
de um lado e os termos com
do outro, facilitando a integração.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
e a integral de
é
. Então, temos:
Onde
é a constante de integração que precisamos determinar.
Passo 4
Vamos simplificar a equação multiplicando todos os termos por 2 para eliminar os denominadores:
Podemos escrever
como uma nova constante, digamos
. Então, a equação fica:
Passo 5
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que quando
,
. Substituindo esses valores na equação:
Passo 6
Com o valor de
, nossa equação fica:
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Passo 7
Precisamos decidir qual sinal usar na solução. Lembrando a condição inicial
, substituindo
:
Como
, escolhemos o sinal negativo. Portanto, a solução é:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.