Para as seguinte função diga qual é o dominio, a imagem e faça o gráfico.
Passo 1
A função é definida por partes em três intervalos: para x∈(–5, –1] temos f(x)=–x+2; para x∈(–1,1) temos f(x)=1/(x–2); e para x∈(1,5) temos f(x)=–x². O conteúdo aqui envolve o conceito de domínio e imagem de função por partes, além de esboçar o gráfico com marcação de pontos abertos e fechados.
Passo 2
O domínio é simplesmente a união dos intervalos em que a função está definida, ou seja:
Passo 3
Agora vamos achar a imagem analisando cada ramo separadamente. Primeiro, para o ramo f₁(x)=–x+2 com x∈(–5,–1]: como é uma reta decrescente, em x→–5⁺ temos f₁→7⁻ (não incluído) e em x=–1 temos f₁=3 (incluído). Logo:
Passo 4
Para o segundo ramo f₂(x)=\frac1{x-2} em x∈(–1,1): o denominador vai de (–3,–1), fazendo f₂ variar de –1/3 (quando x→–1⁺) até –1 (quando x→1⁻), ambos sem inclusão. Assim:
Passo 5
No terceiro ramo f₃(x)=–x² com x∈(1,5): como –x² é decrescente em x>0, em x→1⁺ temos f₃→–1⁻ e em x→5⁻ temos f₃→–25⁺, sem incluir extremos. Logo:
Passo 6
Unindo as imagens de f₂ e f₃ obtemos (–25,–1)∪(–1,–1/3)=(–25,–1/3). Juntando com o ramo 1 dá a imagem final:
Passo 7
Para o gráfico, desenhe: • No intervalo (–5,–1] a reta f(x)=–x+2 de ponto aberto em (–5,7) até ponto fechado em (–1,3). • Em (–1,1) o ramo da hipérbole f(x)=1/(x–2) com círculos abertos em (–1,–1/3) e (1,–1). • Em (1,5) a parábola invertida f(x)=–x² com círculos abertos em (1,–1) e (5,–25).
No desenho, marque bem os pontos abertos (bolinha vazada) e fechados (bolinha preenchida) conforme indicado.
No desenho, marque bem os pontos abertos (bolinha vazada) e fechados (bolinha preenchida) conforme indicado.
Resposta
Domínio: (-5,-1]∪(-1,1)∪(1,5)
Imagem: (-25,-1/3)∪[3,7)
Gráfico: reta decrescente no primeiro trecho com (–5,7) aberto e (–1,3) fechado; ramo de hipérbole em (–1,1) com (–1,–1/3) e (1,–1) abertos; e parábola invertida em (1,5) com (1,–1) e (5,–25) abertos.