Determine a solução da EDO
sujeito a condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que nos foi dada. A equação é:
E temos uma condição inicial: $ y(1) = 2 $. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a separação de variáveis, para encontrar a solução dessa EDO.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Queremos colocar todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro. Assim, multiplicamos ambos os lados por $ y $ e por $ dx $:
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre $ y $ e $ x $:
Passo 4
Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
E a integral do lado direito:
Para integrar $ \frac{\ln x}{x} $, podemos usar uma substituição simples. Seja $ u = \ln x $, então $ du = \frac{1}{x} dx $. A integral fica:
Passo 5
Com as integrais resolvidas, juntamos tudo:
Podemos simplificar isso removendo as constantes, já que $ C_1 - C_2 $ é apenas outra constante $ C $:
Passo 6
Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituímos $ x = 1 $ e $ y = 2 $ na equação:
Passo 7
Com $ C = 4 $, a solução geral fica:
Para encontrar $ y $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Resposta
A solução da EDO é: