Determine a solução da EDO (y(x)) sujeito a condição inicial y(1)=2.
d yd x=ln xx y

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) que nos foi dada. A equação é:
dydx = ln xx y
E temos uma condição inicial: $ y(1) = 2 $. Vamos usar conceitos de cálculo, especificamente a separação de variáveis, para encontrar a solução dessa EDO.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para separar as variáveis $ y $ e $ x $. Queremos colocar todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro. Assim, multiplicamos ambos os lados por $ y $ e por $ dx $:
y

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados. A integração vai nos ajudar a encontrar uma relação entre $ y $ e $ x $:
y

Passo 4

Vamos resolver a integral do lado esquerdo:
integral y , dy = 12 y^2 + C1
E a integral do lado direito:
integral ln xx , dx
Para integrar $ \frac{\ln x}{x} $, podemos usar uma substituição simples. Seja $ u = \ln x $, então $ du = \frac{1}{x} dx $. A integral fica:
ln xx

Passo 5

Com as integrais resolvidas, juntamos tudo:
12 y^2 + C1 = 12 (ln x)^2 + C2
Podemos simplificar isso removendo as constantes, já que $ C_1 - C_2 $ é apenas outra constante $ C $:
C1 - C2

Passo 6

Agora, vamos aplicar a condição inicial $ y(1) = 2 $ para encontrar o valor de $ C $. Substituímos $ x = 1 $ e $ y = 2 $ na equação:
y(1) = 2

Passo 7

Com $ C = 4 $, a solução geral fica:
C = 4
Para encontrar $ y $, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
y^2 = (ln x)^2 + 4

Resposta

A solução da EDO é:
y(x) = raiz,(ln x)^2;+;4,

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