Obtenha o gráfico das seguintes funções usando transformações e indique qual é a imagem da função. Indique também em quais intervalos a função é crescente, e onde é descrescente. Também encontre os máximos e mínimos da função se tiver.
f(x)=-3 log 3 x+2

Passo 1

O enunciado pede para traçar o gráfico da função f(x)=-3log3x +2 usando transformações de g(x)=log3x, além de indicar a imagem, os intervalos de crescimento/decrescimento e eventuais máximos/mínimos. Vamos usar conhecimentos de transformações de função, domínio de logaritmo e monotonicidade.

Passo 2

Começamos com a função base g(x)=log3x. Ela tem: domínio (0,infty), assimptota vertical em x=0, é estritamente crescente e sua imagem é R.

Passo 3

Aplique as transformações em etapas: 1) escala vertical por -3: h(x)=-3,g(x)=-3log3x. Isso reflete sobre o eixo x (sinal -) e estica verticalmente em fator 3. 2) translação vertical de +2: f(x)=h(x)+2=-3log3x+2. O gráfico sobe 2 unidades.

Passo 4

O domínio de f continua sendo (0,infty), pois vem do logaritmo. A imagem também permanece R, pois uma função log em (0,infty) atinge todos os reais e as transformações -3 e +2 não limitam essa amplitude.

Passo 5

Como g é crescente e multiplicamos por -3, h(x) é estritamente decrescente em (0,infty). A translação vertical não altera monotonicidade, logo f(x) é estritamente decrescente em todo o domínio, sem intervalos de crescimento.

Passo 6

A função não atinge nem máximo nem mínimo finito, pois sua imagem é R. Só temos uma assíntota vertical em x=0. Alguns pontos notáveis: f(1)=2, f(3)=-1, f(1/3)=5, que ajudam a esboçar o gráfico.

Resposta

Domínio: (0,infty)
Imagem: R
Monotonicidade: estritamente decrescente em (0,infty)
Máximos/Mínimos: não há (sem pontos extremos finitos)
Assíntota vertical: x=0
Pontos-chave para esboço: (1,2), (3,-1), (1/3,5).

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