Obtenha o gráfico das seguintes funções usando transformações e indique qual é a imagem da função. Indique também em quais intervalos a função é crescente, e onde é descrescente. Também encontre os máximos e mínimos da função se tiver.
Passo 1
O enunciado pede para traçar o gráfico da função
usando transformações de
, além de indicar a imagem, os intervalos de crescimento/decrescimento e eventuais máximos/mínimos. Vamos usar conhecimentos de transformações de função, domínio de logaritmo e monotonicidade.
Passo 2
Começamos com a função base
. Ela tem: domínio
, assimptota vertical em
, é estritamente crescente e sua imagem é
.
Passo 3
Aplique as transformações em etapas: 1) escala vertical por
:
. Isso reflete sobre o eixo
(sinal
) e estica verticalmente em fator 3. 2) translação vertical de +2:
. O gráfico sobe 2 unidades.
Passo 4
O domínio de
continua sendo
, pois vem do logaritmo. A imagem também permanece
, pois uma função log em
atinge todos os reais e as transformações
e
não limitam essa amplitude.
Passo 5
Como
é crescente e multiplicamos por
,
é estritamente decrescente em
. A translação vertical não altera monotonicidade, logo
é estritamente decrescente em todo o domínio, sem intervalos de crescimento.
Passo 6
A função não atinge nem máximo nem mínimo finito, pois sua imagem é
. Só temos uma assíntota vertical em
. Alguns pontos notáveis:
,
,
, que ajudam a esboçar o gráfico.
Resposta
Domínio:
Imagem:
Monotonicidade: estritamente decrescente em
Máximos/Mínimos: não há (sem pontos extremos finitos)
Assíntota vertical:
Pontos-chave para esboço: ,
,
.
Imagem:
Monotonicidade: estritamente decrescente em
Máximos/Mínimos: não há (sem pontos extremos finitos)
Assíntota vertical:
Pontos-chave para esboço: