Determine a solução completa da seguinte EDO
sujeito a condição inicial
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que envolve funções trigonométricas e hiperbólicas. A equação é:
A gente precisa encontrar a solução completa dessa equação, ou seja, determinar
, e já temos uma condição inicial:
. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo como separação de variáveis e integração.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a condição inicial:
. Sabemos que a tangente de um ângulo é zero quando o seno é zero ou o cosseno não é zero. Então,
, onde
é um número inteiro. Vamos assumir o caso mais simples, que
, então
.
Passo 3
Agora, vamos focar na equação diferencial:
Para resolver essa equação, vamos tentar separar as variáveis
e
. Ou seja, queremos reorganizar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
do outro.
Passo 4
Reescrevendo a equação para separar as variáveis:
Aqui, multiplicamos ambos os lados por
para isolar
de um lado e
do outro.
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração vai nos dar a solução geral da equação diferencial.
Vamos resolver cada integral separadamente.
Passo 6
Começando pela integral da esquerda:
Podemos simplificar essa expressão lembrando que
. Então:
Agora, fazemos a substituição
, então
.
Substituindo:
Voltando para
:
Passo 7
Agora, resolvendo a integral do lado direito:
Passo 8
Igualando as integrais:
Para simplificar, podemos multiplicar tudo por
:
Onde
é uma constante de integração ajustada.
Passo 9
Agora, aplicamos a condição inicial
. Quando
,
, então:
Então, a equação fica:
Passo 10
Rearranjando para resolver para
:
Isso nos leva a uma equação transcendental que, em geral, não pode ser resolvida de forma explícita para
. Portanto, a solução está implícita na relação encontrada.
Resposta
A solução completa da EDO sujeita à condição inicial é dada implicitamente por