Determine a solução completa da seguinte EDO (theta(x)) sujeito a condição inicial tan (theta(0))=0.
d thetad x=cos ^5 thetasin ^3 theta cosh (x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) que envolve funções trigonométricas e hiperbólicas. A equação é:
d thetad x = cos^5 thetasin^3 theta cosh (x)
A gente precisa encontrar a solução completa dessa equação, ou seja, determinar theta(x), e já temos uma condição inicial: tan (theta(0)) = 0. Para resolver isso, vamos precisar usar técnicas de cálculo como separação de variáveis e integração.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a condição inicial: tan (theta(0)) = 0. Sabemos que a tangente de um ângulo é zero quando o seno é zero ou o cosseno não é zero. Então, theta(0) = kpi, onde k é um número inteiro. Vamos assumir o caso mais simples, que k = 0, então theta(0) = 0.

Passo 3

Agora, vamos focar na equação diferencial:
d thetad x = cos^5 thetasin^3 theta cosh (x)
Para resolver essa equação, vamos tentar separar as variáveis theta e x. Ou seja, queremos reorganizar a equação de forma que todos os termos com theta fiquem de um lado e os termos com x do outro.

Passo 4

Reescrevendo a equação para separar as variáveis:
sin^3 thetacos^5 theta dtheta = cosh(x) dx
Aqui, multiplicamos ambos os lados por sin^3 thetacos^5 theta para isolar dtheta de um lado e dx do outro.

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados. A integração vai nos dar a solução geral da equação diferencial.
integral sin^3 thetacos^5 theta dtheta = integral cosh(x) dx
Vamos resolver cada integral separadamente.

Passo 6

Começando pela integral da esquerda:
integral sin^3 thetacos^5 theta dtheta
Podemos simplificar essa expressão lembrando que sin^3 theta = sin^2 theta cdot sin theta = (1 - cos^2 theta) cdot sin theta. Então:
integral (1 - cos^2 theta) sin thetacos^5 theta dtheta = integral sin thetacos^5 theta dtheta - integral sin thetacos^3 theta dtheta
Agora, fazemos a substituição u = cos theta, então du = -sin theta dtheta.
Substituindo:
- integral 1u^5 du + integral 1u^3 du = 14u^4 - 12u^2 + C
Voltando para theta:
14cos^4 theta - 12cos^2 theta + C

Passo 7

Agora, resolvendo a integral do lado direito:
integral cosh(x) dx = sinh(x) + C

Passo 8

Igualando as integrais:
14cos^4 theta - 12cos^2 theta = sinh(x) + C
Para simplificar, podemos multiplicar tudo por 4cos^4 theta:
1 - 2cos^2 theta = 4cos^4 theta sinh(x) + C'
Onde C' = 4C cos^4 theta é uma constante de integração ajustada.

Passo 9

Agora, aplicamos a condição inicial theta(0) = 0. Quando x = 0, sinh(0) = 0, então:
1 - 2cos^2(0) = C'
1 - 2(1) = C' Rightarrow C' = -1
Então, a equação fica:
1 - 2cos^2 theta = 4cos^4 theta sinh(x) - 1

Passo 10

Rearranjando para resolver para cos^2 theta:
2 - 2cos^2 theta = 4cos^4 theta sinh(x)
2(1 - cos^2 theta) = 4cos^4 theta sinh(x)
1 - cos^2 theta = 2cos^4 theta sinh(x)
Isso nos leva a uma equação transcendental que, em geral, não pode ser resolvida de forma explícita para theta(x). Portanto, a solução está implícita na relação encontrada.

Resposta

A solução completa da EDO sujeita à condição inicial é dada implicitamente por
14cos^4 theta - 12cos^2 theta = sinh(x) - 1

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