Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:

R.

Passo 1

O exercício propõe resolver a equação diferencial de primeira ordem
y^2,dx + l(y^2x + 2xy - 1r),dy = 0,
identificar seu tipo e, se possível, encontrar solução particular (aqui não há condição inicial explícita). Vamos usar teoria de equações exatas e fatores integrantes.

Passo 2

Reconhecemos a forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 com
M(x,y) = y^2,
N(x,y) = y^2x + 2xy - 1

Passo 3

Para testar exatidão calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 2y,
partial Npartial x = y^2 + 2y
Como 2y ≠ y^{2} + 2y, a equação não é exata.

Passo 4

Buscamos um fator integrante μ(y) exclusivamente em função de y. A condição é
$$\frac{1}{M}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr) = \frac{(y^{2}+2y) - 2y}{y^{2}} = 1,
1Ml(partial Npartial x-partial Mpartial yr) = (y^2+2y) - 2yy^2 = 1, \mu(y) = e^{\int 1,dy} = e^{y}.$$

Passo 5

Multiplicamos a equação original por e^{y}:
$$y{2}e{y},dx + (y^{2}x + 2xy -1)e^{y},dy = 0.
y^2e^y,dx + (y^2x + 2xy -1)e^y,dy = 0 é\frac{\partial}{\partial y}(y{2}e{y}) = e^{y}(2y + y^{2}),$$
$$\frac{\partial}{\partial x}\bigl((y^{2}x + 2xy -1)e^{y}\bigr) = e{y}(y{2} + 2y).
$$

Passo 6

Procuramos φ(x,y) tal que
partial phipartial x = y^2e^y,
pelo que
$$\phi(x,y) = \int y{2}e{y},dx + h(y) = x y{2}e{y} + h(y).
phi(x,y) = integral y^2e^y,dx + h(y) = x y^2e^y + h(y) \frac{\partial \phi}{\partial y} = x e^{y}(2y + y^{2}) + h’(y) = (y^{2}x + 2xy -1)e^{y}.
partial phipartial y = x e^y(2y + y^2) + h'(y) = (y^2x + 2xy -1)e^y áãh(y) = -e^{y} + C.$$

Passo 7

A função potencial é
$$\phi(x,y) = e^{y}(x y^{2} - 1) + C,
phi(x,y) = e^y(x y^2 - 1) + C, çãe^{y}(x y^{2} - 1) = C.
$$

Passo 8

Reescrevendo em forma mais simples temos
x y^2 = 1 + k e^-y,
onde k é constante de integração.

Resposta

y^2x = 1 + k e^-y

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