Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:
R.
R.
Passo 1
O exercício propõe resolver a equação diferencial de primeira ordem
identificar seu tipo e, se possível, encontrar solução particular (aqui não há condição inicial explícita). Vamos usar teoria de equações exatas e fatores integrantes.
Passo 2
Reconhecemos a forma M(x,y),dx + N(x,y),dy = 0 com
Passo 3
Para testar exatidão calculamos as derivadas parciais
Como 2y ≠ y^{2} + 2y, a equação não é exata.
Passo 4
Buscamos um fator integrante μ(y) exclusivamente em função de y. A condição é
$$\frac{1}{M}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr) = \frac{(y^{2}+2y) - 2y}{y^{2}} = 1,
Passo 5
Multiplicamos a equação original por e^{y}:
$$y{2}e{y},dx + (y^{2}x + 2xy -1)e^{y},dy = 0.
$$\frac{\partial}{\partial x}\bigl((y^{2}x + 2xy -1)e^{y}\bigr) = e{y}(y{2} + 2y).
$$
Passo 6
Procuramos φ(x,y) tal que
pelo que
$$\phi(x,y) = \int y{2}e{y},dx + h(y) = x y{2}e{y} + h(y).
Passo 7
A função potencial é
$$\phi(x,y) = e^{y}(x y^{2} - 1) + C,
$$
Passo 8
Reescrevendo em forma mais simples temos
onde k é constante de integração.