Resolva as equações abaixo, identificando-as primeiro e, no caso em que as condições iniciais forem dadas, encontre a solução particular:

R.

Passo 1

Estamos com a equação diferencial x^2y'+xy=2+x^2, que é uma equação linear de primeira ordem em y(x). Para resolver, vamos usar fator integrante.

Passo 2

Para colocar em forma padrão, dividimos tudo por x^2:
y'+1xy=2+x^2x^2=2x^-2+1

Passo 3

O fator integrante mu(x) vem de mu(x)=e^integral P(x),dx onde P(x)=1/x. Logo,
mu(x)=e^integral1xdx=e^ln x=x

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por mu(x)=x. Assim:
x,y'+y=x(2x^-2+1)=2x^-1+x
O lado esquerdo é a derivada de x y:
ddx(x y)=2x^-1+x

Passo 5

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
integralddx(x y),dx=integral(2x^-1+x),dx
x y=2ln x+x^22+k,
onde k é a constante de integração.

Passo 6

Por fim, isolamos y:
y=1xl(2ln x+x^22+kr)=2x^-1ln x+x2+kx

Resposta

y=2x^{-1}\ln x+\frac{x}{2}+\frac{k}{x}

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