Determine a solução (envolvendo uma integral de convolução) do P.V.I.
onde é uma função que possui transformada de Laplace.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial (P.V.I.) que envolve uma equação diferencial de segunda ordem:
Aqui, g(t) é uma função que tem transformada de Laplace. Nosso objetivo é encontrar a solução para y(t) usando uma integral de convolução. Para isso, vamos precisar usar a teoria das transformadas de Laplace e entender um pouco sobre convolução.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a transformada de Laplace. É uma ferramenta que transforma uma função do tempo, f(t), para uma função no domínio complexo, F(s), facilitando a resolução de equações diferenciais. A transformada de Laplace é definida por:
Lf(t) = integral0^infty e^-st f(t) , dt
Nosso objetivo é aplicar a transformada de Laplace na equação diferencial para resolver para Y(s), que é a transformada de y(t).
Passo 3
Vamos aplicar a transformada de Laplace em cada termo da equação diferencial:
Transformada de y''(t):
Usamos a propriedade que a transformada de y''(t) é s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0).
Transformada de 9 y(t):
Simplesmente 9 Y(s).
Transformada de g(t):
Como dado, Lg(t) = G(s).
Aplicando isso na equação, temos:
s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 9 Y(s) = G(s)
Passo 4
Agora, vamos substituir os valores iniciais y(0) = 1 e y'(0) = 0 na equação:
s^2 Y(s) - s cdot 1 - 0 - 9 Y(s) = G(s)
Simplificando:
(s^2 - 9) Y(s) - s = G(s)
Passo 5
Queremos isolar Y(s). Então, vamos rearranjar a equação:
(s^2 - 9) Y(s) = G(s) + s
Dividindo ambos os lados por (s^2 - 9):
Y(s) = G(s) + ss^2 - 9
Podemos separar isso em duas frações:
Y(s) = G(s)s^2 - 9 + ss^2 - 9
Passo 6
Agora, para encontrar y(t), precisamos aplicar a transformada inversa de Laplace. Observamos que:
G(s)s^2 - 9 corresponde a uma convolução no domínio do tempo.
ss^2 - 9 é a transformada de Laplace de cosh(3t) ou cos(3t), dependendo do sinal.
Assumindo que estamos trabalhando com funções que levam a soluções reais, vamos considerar cos(3t), já que a equação possui coeficientes reais.
Passo 7
A transformada inversa de ss^2 - 9 é:
L^-1ss^2 - 9 = cos(3t)
Para o termo G(s)s^2 - 9, a transformada inversa envolve a convolução entre g(t) e a resposta do sistema homogêneo, que neste caso é sin(3t)3.