Encontre a derivada da função dada usando a definição: f(x)=x+raizx

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a derivada de f(x)=x+raizx usando a definição de derivada por limite. O conteúdo é derivada a partir do limite do quociente incremental.

Passo 2

Aplicamos a definição
f'(x)=limhto0f(x+h)-f(x)h
Vamos calcular primeiro f(x+h).

Passo 3

Calculamos
f(x+h)=(x+h)+raizx+h
Então o numerador do quociente incremental é
f(x+h)-f(x)=(x+h+raizx+h)-(x+raizx)=h+(raizx+h-raizx)
Dividindo por h obtemos
f(x+h)-f(x)h=1+raizx+h-raizxh

Passo 4

Para calcular limhto0raizx+h-raizxh, racionalizamos multiplicando por raizx+h+raizx:
raizx+h-raizxh= (raizx+h-raizx)(raizx+h+raizx)h(raizx+h+raizx)= (x+h)-xh(raizx+h+raizx)=1raizx+h+raizx
Fazendo hto0 isso vira 1/(2raizx).

Passo 5

Então o limite do quociente incremental é
f'(x)=1+12raizx

Resposta

f'(x)=1+12raizx

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