Determine a solução da equação diferencial. (2P)
y^prime=3e^-t+2 y

Passo 1

Resumo do enunciado: Determinar a solução geral da EDO
y' = 3e^-t + 2y
Conteúdo: equações diferenciais lineares de primeira ordem; fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos o termo 3/e^-t como 3e^t e colocamos em forma padrão:
y' - 2y = 3e^t

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t) por:
mu(t) = e^integral -2,dt = e^-2t

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados da forma padrão por mu(t). Obtém-se:
e^-2ty' - 2e^-2ty = 3e^-t
O lado esquerdo é o derivado de e^-2ty:
ddt(e^-2ty) = 3e^-t

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a t:
integral ddt(e^-2ty),dt = integral 3e^-t,dt
Obtém-se:
e^-2ty = -3e^-t + C

Passo 6

Despejamos y(t) multiplicando por e^2t:
y(t) = e^2t(-3e^-t + C) = -3e^t + Ce^2t

Resposta

y(t) = Ce^2t - 3e^t

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