Determine a solução da equação diferencial. (2P)
y^prime=x e^-x-y+1

Passo 1

A equação diferencial dada é y'=x e^-x-y+1, que é do tipo linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão y'+y=xe^-x+1 e calculamos o fator integrante:
mu(x)=e^integral 1,dx=e^x

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por e^x para obter:
ddxl(e^x yr)=x+e^x

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
e^x y=integral x,dx+integral e^x,dx=x^22+e^x+C

Passo 5

Isolamos y dividindo por e^x:
y=l(x^22+e^x+Cr)e^-x=x^22e^-x+1+Ce^-x

Resposta

y=x^22e^-x+1+Ce^-x

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