Determine a solução da equação diferencial. (2P) y^prime+t^-1 y=e^x para y(1)=2

Passo 1

O enunciado pede pra resolver a equação diferencial linear de primeira ordem y'+x^-1y=e^x com condição inicial y(1)=2. O conteúdo é EDO linear e vamos usar fator integrante para obter a solução geral.

Passo 2

Para uma EDO na forma y'+P(x)y=Q(x), o fator integrante é mu(x)=e^integral P(x),dx. Aqui P(x)=x^-1, logo
mu(x)=expl(integral x^-1,dxr)=exp(ln|x|)=x

Passo 3

Multiplicando a equação original por mu(x)=x obtemos
x,y' + y = x e^x
O lado esquerdo é a derivada do produto x y, pois
ddx(x y)=x,y' + y

Passo 4

Então integramos ambos os lados:
x y = integral x e^x,dx

Passo 5

Fazendo integração por partes em integral x e^x,dx, tomamos u=x, dv=e^x dx, logo
integral x e^x,dx = x e^x - integral e^x,dx = x e^x - e^x + C

Passo 6

Portanto
x y = x e^x - e^x + C Longrightarrow y = e^x - e^xx + Cx

Passo 7

Aplicamos a condição inicial y(1)=2:
2 = y(1) = e^1 - e^11 + C1 = e - e + C = C

Passo 8

Logo C=2 e a solução particular é
y(x) = e^x - e^xx + 2x

Resposta

y(x) = e^x - e^xx + 2x

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