Determine a solução da equação diferencial. (2P)
3 y+y^prime=t+1e^2 t

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial 3y + y′ = t + e^{−2t}, que é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y′ + 3y = t + e^{−2t}:
y' + 3y = t + e^-2t

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(t) = e^integral 3,dt = e^3t. Multiplicando ambos os lados da forma padrão pelo fator integrante, obtemos:
ddtl(e^3tyr) = e^3tl(t + e^-2tr)

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a t. De um lado:
integral ddt(e^3ty),dt = e^3ty + C
Do outro, separamos a integral:
integral l(t e^3t + e^tr),dt = integral t e^3t,dt + integral e^t,dt
Usando integração por partes em integral t e^3t,dt:
integral t e^3t,dt = t e^3t3 - e^3t9
E
integral e^t,dt = e^t
Somando, temos
e^3ty = t e^3t3 - e^3t9 + e^t + C

Passo 5

Por fim, isolamos y dividindo por e^{3t}:
y = t3 - 19 + e^-2t + C e^-3t

Resposta

y(t)=t3-19+e^-2t+C,e^-3t

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