Determine a solução da equação diferencial. (2P)
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial 3y + y′ = t + e^{−2t}, que é uma EDO linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.
Passo 2
Primeiro, colocamos a equação na forma padrão y′ + 3y = t + e^{−2t}:
Passo 3
Calculamos o fator integrante
. Multiplicando ambos os lados da forma padrão pelo fator integrante, obtemos:
Passo 4
Integramos ambos os lados em relação a t. De um lado:
Do outro, separamos a integral:
Usando integração por partes em
:
E
Somando, temos
Passo 5
Por fim, isolamos y dividindo por e^{3t}: