Determine a solução da equação diferencial. (2P) y^prime=(x-e^-x)(y+e^y)^-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial y' = x - e^-xy + e^y. Trata-se de uma equação de variáveis separáveis: vamos isolar os termos em y de um lado e em x do outro para integrar.

Passo 2

Para separar as variáveis, multiplicamos ambos os lados por y + e^y e por dx. Assim obtemos
(y + e^y),dy = (x - e^-x),dx

Passo 3

Agora integramos cada lado: de um lado em y e do outro em x. Calculando as integrais temos
integral (y + e^y),dy = integral y,dy + integral e^y,dy = y^22 + e^y
integral (x - e^-x),dx = integral x,dx - integral e^-x,dx = x^22 + e^-x

Passo 4

Igualando as duas expressões e incluindo a constante de integração C, chegamos à solução implícita:
y^22 + e^y = x^22 + e^-x + C

Resposta

y^22 + e^y = x^22 + e^-x + C

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