Determine a solução da equação diferencial
p(p+2) y(t)=3 e^{-t}, \quad y(0)=0, \quad \dot{y}(0)=0
sendo p o operador derivada.

Passo 1

O enunciado dá a equação com o operador derivada p:
p(p+2)\,y(t)=3e^{-t},
com as condições iniciais
y(0)=0,\qquad \dot{y}(0)=0.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\text{(i) } p=\frac{d}{dt},\qquad \text{(ii) incógnita: } y(t),\qquad \text{(iii) rhs: } 3e^{-t},\qquad \text{(iv) condições iniciais dadas.}óçõ

Passo 2

Converto a notação operador para a forma habitual da equação diferencial. Como p=\dfrac{d}{dt} temos
p(p+2)=p^2+2p,
portanto a equação é
y''(t)+2y'(t)=3e^{-t},
com y(0)=0 e y'(0)=0. Antes de resolver, explico a ideia: vamos achar a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma particular. Isso é padrão para equações lineares com coeficientes constantes.

Passo 3

Resolvo a equação homogênea associada
y''+2y'=0.
Usamos a técnica do polinômio característico. Substituímos y\sim e^{rt} e obtemos o polinômio característico
r^2+2r=0 \quad\Longrightarrow\quad r(r+2)=0.
As raízes são r_1=0 e r_2=-2. Como são raízes simples e distintas, a solução geral da homogênea é
y_h(t)=C_1 + C_2 e^{-2t},
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 4

Agora procuramos uma solução particular y_p da equação completa
y''+2y'=3e^{-t}.
Explico a estratégia (método dos coeficientes a determinar): quando o termo do lado direito é do tipo Ae^{\alpha t}, tentamos y_p=B e^{\alpha t}, salvo se e^{\alpha t} for solução da homogênea (ressonância), caso em que multiplicamos por t. Aqui o termo é 3e^{-t} e e^{-t} NÃO pertence à base da homogênea (que tem e^{0t}=1 e e^{-2t}). Logo podemos tentar
y_p(t)=A e^{-t},
com A uma constante a determinar.

Passo 5

Calculo derivadas de y_p e substituo na equação:
y_p(t)=A e^{-t},\qquad y_p'(t)=-A e^{-t},\qquad y_p''(t)=A e^{-t}.
Então
y_p''+2y_p' = A e^{-t} + 2(-A e^{-t}) = (A-2A)e^{-t} = -A e^{-t}.
Devemos ter -A e^{-t}=3e^{-t}, logo
-A=3 \quad\Longrightarrow\quad A=-3.
Portanto
y_p(t)=-3e^{-t}.

Passo 6

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
y(t)=y_h(t)+y_p(t)=C_1 + C_2 e^{-2t} -3e^{-t}.

Passo 7

Aplico as condições iniciais para determinar C_1 e C_2.
Primeiro, em t=0:
y(0)=C_1 + C_2 -3 =0 \quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 =3.
Agora a derivada geral:
y'(t)=0 + C_2(-2)e^{-2t} -3(-1)e^{-t} = -2C_2 e^{-2t} +3 e^{-t}.
Em t=0:
y'(0)=-2C_2 +3 =0 \quad\Longrightarrow\quad -2C_2 +3=0 \quad\Longrightarrow\quad C_2=\tfrac{3}{2}.
Substituindo em C_1+C_2=3 obtemos
C_1=3-C_2=3-\tfrac{3}{2}=\tfrac{3}{2}.

Passo 8

Substituo as constantes na solução geral:
y(t)=\tfrac{3}{2} + \tfrac{3}{2}e^{-2t} -3e^{-t}.
Posso apresentar numa forma mais compacta: fatorando \tfrac{3}{2},
y(t)=\tfrac{3}{2}\bigl(1 + e^{-2t} -2e^{-t}\bigr)=\tfrac{3}{2}\bigl(1-e^{-t}\bigr)^2.
Verificação rápida (opcional): essa função satisfaz y(0)=0 e y'(0)=0 e, ao calcular y''+2y', obtém-se 3e^{-t}, portanto é a solução correta.

Resposta

y(t)=\tfrac{3}{2}\bigl(1-e^{-t}\bigr)^2

Exercícios relacionados