Determine a solução da equação diferencial
sendo
o operador derivada.
Passo 1
O enunciado dá a equação com o operador derivada
:
com as condições iniciais
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Converto a notação operador para a forma habitual da equação diferencial. Como
temos
portanto a equação é
com
e
. Antes de resolver, explico a ideia: vamos achar a solução geral como soma da solução da homogênea e de uma particular. Isso é padrão para equações lineares com coeficientes constantes.
Passo 3
Resolvo a equação homogênea associada
Usamos a técnica do polinômio característico. Substituímos
e obtemos o polinômio característico
As raízes são
e
. Como são raízes simples e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 4
Agora procuramos uma solução particular
da equação completa
Explico a estratégia (método dos coeficientes a determinar): quando o termo do lado direito é do tipo
, tentamos
, salvo se
for solução da homogênea (ressonância), caso em que multiplicamos por
. Aqui o termo é
e
NÃO pertence à base da homogênea (que tem
e
). Logo podemos tentar
com
uma constante a determinar.
Passo 5
Calculo derivadas de
e substituo na equação:
Então
Devemos ter
, logo
Portanto
Passo 6
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:
Passo 7
Aplico as condições iniciais para determinar
e
.
Primeiro, em
:
Agora a derivada geral:
Em
:
Substituindo em
obtemos
Passo 8
Substituo as constantes na solução geral:
Posso apresentar numa forma mais compacta: fatorando
,
Verificação rápida (opcional): essa função satisfaz
e
e, ao calcular
, obtém-se
, portanto é a solução correta.