Determine a equação diferencial que representa o sistema
Passo 1
O enunciado dá a função de transferência
e pede: determinar a equação diferencial que representa o sistema.\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- Temos a razão entre polinômios em
. - Nesta formulação típica,
relaciona a transformada de Laplace da saída com a transformada da entrada pela relação . - Vamos adotar as notações de tempo padrão: a entrada no tempo é
e a saída é . - Em geral, ao passar de domínio de Laplace para domínio do tempo, precisamos considerar condições iniciais; para obter a equação diferencial do sistema (forma usual a partir da função de transferência) assumimos condições iniciais nulas (ou seja, todas as condições iniciais iguais a zero).
Passo 2
Primeiro escrevemos explicitamente a relação entre
e
. Como
, temos
Isto é apenas multiplicar ambos os lados por
.
Passo 3
Agora vou explicar como converter cada termo em
-domínio para o domínio do tempo. Regra básica (propriedade da transformada de Laplace):
Por exemplo,
e assim por diante. Se assumirmos condições iniciais nulas (isto é,
), a relação simplifica para
Portanto, multiplicações por potências de
correspondem a derivadas de ordem correspondente no domínio do tempo (com condições iniciais nulas).
Passo 4
Aplicamos a regra termo a termo na equação do Passo 2. Cada termo do lado esquerdo envolvendo
vira a
-ésima derivada de
; cada termo do lado direito envolvendo
vira a
-ésima derivada de
. Assim:
e
Substituindo todos esses mapeamentos na igualdade do Passo 2 obtemos a equação diferencial no tempo:
Passo 5
Comentário didático rápido e um jeitinho prático de lembrar: a função de transferência
normalmente dá a equação diferencial
, onde
é o operador derivada em tempo. No nosso caso
e
, levando exatamente ao resultado encontrado.