Determine a equação diferencial que representa o sistema
H(s)=\frac{s^{2}+5 s+2}{s^{3}+3 s^{2}+4 s-1}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência
H(s)=\frac{s^{2}+5 s+2}{s^{3}+3 s^{2}+4 s-1}
e pede: determinar a equação diferencial que representa o sistema.\n
Informações relevantes fornecidas:
  • Temos a razão entre polinômios em \,s.
  • Nesta formulação típica, \,H(s) relaciona a transformada de Laplace da saída \,Y(s) com a transformada da entrada \,U(s) pela relação \,H(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}.
  • Vamos adotar as notações de tempo padrão: a entrada no tempo é u(t) e a saída é y(t).
  • Em geral, ao passar de domínio de Laplace para domínio do tempo, precisamos considerar condições iniciais; para obter a equação diferencial do sistema (forma usual a partir da função de transferência) assumimos condições iniciais nulas (ou seja, todas as condições iniciais iguais a zero).

Passo 2

Primeiro escrevemos explicitamente a relação entre \,Y(s) e \,U(s). Como \,H(s)=\dfrac{Y(s)}{U(s)}, temos
\left(s^{3}+3 s^{2}+4 s-1\right)Y(s)=\left(s^{2}+5 s+2\right)U(s).
Isto é apenas multiplicar ambos os lados por \,s^{3}+3 s^{2}+4 s-1.

Passo 3

Agora vou explicar como converter cada termo em \,s-domínio para o domínio do tempo. Regra básica (propriedade da transformada de Laplace):
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s)-\text{(termos com as condições iniciais)}.çõ
Por exemplo,
\mathcal{L}\{y'(t)\}=sY(s)-y(0^-),\qquad \mathcal{L}\{y''(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0^-)-y'(0^-),
e assim por diante. Se assumirmos condições iniciais nulas (isto é, y(0^-)=0,\;y'(0^-)=0,\;\ldots), a relação simplifica para
\mathcal{L}\{y^{(n)}(t)\}=s^{n}Y(s).
Portanto, multiplicações por potências de \,s correspondem a derivadas de ordem correspondente no domínio do tempo (com condições iniciais nulas).

Passo 4

Aplicamos a regra termo a termo na equação do Passo 2. Cada termo do lado esquerdo envolvendo s^{k}Y(s) vira a k-ésima derivada de y(t); cada termo do lado direito envolvendo s^{k}U(s) vira a k-ésima derivada de u(t). Assim:
s^{3}Y(s)\longrightarrow y^{(3)}(t),\qquad 3s^{2}Y(s)\longrightarrow 3y''(t),\qquad 4sY(s)\longrightarrow 4y'(t),\qquad -1\cdot Y(s)\longrightarrow -y(t),
e
s^{2}U(s)\longrightarrow u''(t),\qquad 5sU(s)\longrightarrow 5u'(t),\qquad 2U(s)\longrightarrow 2u(t).
Substituindo todos esses mapeamentos na igualdade do Passo 2 obtemos a equação diferencial no tempo:
y^{(3)}(t)+3y''(t)+4y'(t)-y(t)=u''(t)+5u'(t)+2u(t).

Passo 5

Comentário didático rápido e um jeitinho prático de lembrar: a função de transferência \,H(s)=\dfrac{N(s)}{D(s)} normalmente dá a equação diferencial \,D(D_t)\,y(t)=N(D_t)\,u(t), onde D_t é o operador derivada em tempo. No nosso caso D(D_t)=D_t^{3}+3D_t^{2}+4D_t-1 e N(D_t)=D_t^{2}+5D_t+2, levando exatamente ao resultado encontrado.

Resposta

y^{(3)}(t)+3y''(t)+4y'(t)-y(t)=u''(t)+5u'(t)+2u(t)

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