Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução y(t) das equações diferenciais a seguir, sendo p o operador derivada.
\ddot{y}(t)+2 \dot{y}(t)+2 y(t)=e^{-t} \sin (t), \quad y(0)=0, \quad \dot{y}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
\ddot{y}(t)+2\dot{y}(t)+2y(t)=e^{-t}\sin(t), \qquad y(0)=0,\qquad \dot{y}(0)=0.
O que se pede é encontrar explicitamente a função y(t) que satisfaz essa equação e as condições iniciais, usando transformadas de Laplace. Todas as informações relevantes estão acima: o segundo membro é e^{-t}\sin t e as condições iniciais são nulas.

Passo 2

Vamos aplicar a transformada de Laplace. Denotamos
Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\}.
Primeiro, lembro (e explico) as fórmulas de transformada das derivadas, que derivam da definição da Laplace e são usadas sempre em EDs com condições iniciais:
\mathcal{L}\{\dot{y}(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{\ddot{y}(t)\}=s^{2}Y(s)-s\,y(0)-\dot{y}(0).
Aqui s é a variável complexa da transformada (pense nela como o “núcleo” que transforma funções do tempo em funções de s). Como y(0)=0 e \dot{y}(0)=0, as fórmulas ficam simples:
\mathcal{L}\{\dot{y}\}=sY(s),\qquad \mathcal{L}\{\ddot{y}\}=s^{2}Y(s).
Aplicando Laplace ao lado esquerdo da EDO:
\mathcal{L}\{\ddot{y}+2\dot{y}+2y\}=(s^{2}+2s+2)Y(s).

Passo 3

Agora calculamos a transformada do lado direito \mathcal{L}\{e^{-t}\sin t\}. Primeiro a transformada básica:
\mathcal{L}\{\sin(bt)\}=\frac{b}{s^{2}+b^{2}}.
No nosso caso b=1, então \mathcal{L}\{\sin t\}=\dfrac{1}{s^{2}+1}. Em seguida usamos o teorema do deslocamento: se \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s) então \mathcal{L}\{e^{-a t}f(t)\}=F(s+a). Aplicando com a=1 e f(t)=\sin t temos
\mathcal{L}\{e^{-t}\sin t\}=\frac{1}{(s+1)^{2}+1}.
Igualando transformadas dos dois lados da EDO:
(s^{2}+2s+2)Y(s)=\frac{1}{(s+1)^{2}+1}.
Note que s^{2}+2s+2=(s+1)^{2}+1. Logo podemos simplificar:
Y(s)=\frac{1}{\big((s+1)^{2}+1\big)^{2}}.

Passo 4

Agora precisamos inverter a transformada Y(s)=\dfrac{1}{\big((s+1)^{2}+1\big)^{2}}. Vou usar uma abordagem prática e didática: escrever Y(s) como o produto de duas transformadas iguais e usar a convolução no tempo. Defina
F(s)=\frac{1}{(s+1)^{2}+1}=\mathcal{L}\{f(t)\},
onde f(t)=e^{-t}\sin t (já vimos isso). Então
Y(s)=F(s)\cdot F(s),
e pela propriedade da transformada inversa a convolução no tempo vale:
y(t)=(f*f)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,f(t-\tau)\,d\tau.
Substituindo f(u)=e^{-u}\sin u,
y(t)=\int_{0}^{t} e^{-\tau}\sin\tau\; e^{-(t-\tau)}\sin(t-\tau)\,d\tau = e^{-t}\int_{0}^{t}\sin\tau\;\sin(t-\tau)\,d\tau.
Agora calculamos a integral interior. Use a identidade trigonométrica
\sin A\sin B=\tfrac{1}{2}\big(\cos(A-B)-\cos(A+B)\big).
Com A=\tau e B=t-\tau obtemos
\sin\tau\sin(t-\tau)=\tfrac{1}{2}\big(\cos(2\tau-t)-\cos t\big).
Portanto
\int_{0}^{t}\sin\tau\sin(t-\tau)\,d\tau =\tfrac{1}{2}\int_{0}^{t}\cos(2\tau-t)\,d\tau -\tfrac{1}{2}\int_{0}^{t}\cos t\,d\tau.
Calcule cada termo separadamente. Para o primeiro, mude de variável u=2\tau-t, então du=2\,d\tau e quando \tau vai de 0 a t, u vai de -t a t. Assim
\int_{0}^{t}\cos(2\tau-t)\,d\tau=\tfrac{1}{2}\int_{-t}^{t}\cos u\,du =\tfrac{1}{2}\cdot 2\sin t=\sin t.
Para o segundo termo,
\int_{0}^{t}\cos t\,d\tau = \cos t\cdot t.
Logo a integral original vale
\int_{0}^{t}\sin\tau\sin(t-\tau)\,d\tau=\tfrac{1}{2}\sin t-\tfrac{1}{2}t\cos t =\tfrac{1}{2}\big(\sin t - t\cos t\big).
Voltando a y(t),
y(t)=e^{-t}\cdot \tfrac{1}{2}\big(\sin t - t\cos t\big) =\tfrac{1}{2}e^{-t}\big(\sin t - t\cos t\big).

Passo 5

(Dica de verificação rápida) Se você quiser checar no papel: calcule a Laplace de \tfrac{1}{2}e^{-t}(\sin t - t\cos t) usando as fórmulas \mathcal{L}\{e^{-t}\sin t\}=\dfrac{1}{(s+1)^{2}+1} e \mathcal{L}\{t e^{-t}\cos t\}=\dfrac{(s+1)^{2}-1}{\big((s+1)^{2}+1\big)^{2}}; algebricamente você obtém exatamente Y(s)=\dfrac{1}{\big((s+1)^{2}+1\big)^{2}}, confirmando a solução.

Resposta

\displaystyle y(t)=\tfrac{1}{2}e^{-t}\big(\sin t - t\cos t\big)

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