Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução
das equações diferenciais a seguir, sendo
o operador derivada.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e as condições iniciais:
O que se pede é encontrar explicitamente a função
que satisfaz essa equação e as condições iniciais, usando transformadas de Laplace. Todas as informações relevantes estão acima: o segundo membro é
e as condições iniciais são nulas.
Passo 2
Vamos aplicar a transformada de Laplace. Denotamos
Primeiro, lembro (e explico) as fórmulas de transformada das derivadas, que derivam da definição da Laplace e são usadas sempre em EDs com condições iniciais:
Aqui
é a variável complexa da transformada (pense nela como o “núcleo” que transforma funções do tempo em funções de
). Como
e
, as fórmulas ficam simples:
Aplicando Laplace ao lado esquerdo da EDO:
Passo 3
Agora calculamos a transformada do lado direito
. Primeiro a transformada básica:
No nosso caso
, então
. Em seguida usamos o teorema do deslocamento: se
então
. Aplicando com
e
temos
Igualando transformadas dos dois lados da EDO:
Note que
. Logo podemos simplificar:
Passo 4
Agora precisamos inverter a transformada
. Vou usar uma abordagem prática e didática: escrever
como o produto de duas transformadas iguais e usar a convolução no tempo. Defina
onde
(já vimos isso). Então
e pela propriedade da transformada inversa a convolução no tempo vale:
Substituindo
,
Agora calculamos a integral interior. Use a identidade trigonométrica
Com
e
obtemos
Portanto
Calcule cada termo separadamente. Para o primeiro, mude de variável
, então
e quando
vai de
a
,
vai de
a
. Assim
Para o segundo termo,
Logo a integral original vale
Voltando a
,
Passo 5
(Dica de verificação rápida) Se você quiser checar no papel: calcule a Laplace de
usando as fórmulas
e
; algebricamente você obtém exatamente
, confirmando a solução.