Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução
das equações diferenciais a seguir, sendo
o operador derivada.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial com condições iniciais dadas. Informações fornecidas:
Também foi dito que
é o operador derivada (ou seja,
), mas aqui usaremos a transformada de Laplace diretamente sobre as derivadas. A meta é achar
para
.
Passo 2
Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro, a definição e propriedades que precisamos (explicando como usar na prova):
- A transformada de Laplace de uma função
é
onde
é a variável complexa da transformada.
- Propriedade de linearidade:
. - Transformada das derivadas (essencial para transformar EDOs): para
,
Essas fórmulas resultam de integrar por partes; na prova você deve lembrar delas e substituir as condições iniciais.
- Transformada de uma exponencial deslocada:
(para ).
Aplicando isso ao lado direito:
.
Passo 3
Agora aplicamos a transformada de Laplace membro a membro da EDO. Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais
,
, obtemos:
Substituindo:
Como
e
, isso simplifica para
Fatorando o polinômio quadrático,
Portanto
Passo 4
Para inverter a transformada, fazemos decomposição em frações parciais. Escrevemos
Multiplicando ambos os lados por
obtemos a identidade
Para achar
é rápido usar valores próprios:
- Tomando
: , assim . - Tomando
: , assim . - Tomando
: , assim .
Logo temos
Passo 5
Agora usamos a transformada inversa. A regra básica é
. Aplicando termo a termo:
Somando esses três termos obtemos a solução
. Para checar rapidamente (coisa útil na prova), verifique as condições iniciais: somando os coeficientes em
dá
, e a derivada em
também dá zero — então as condições iniciais batem.