Utilizando Transformadas de Laplace, determine a solução y(t) das equações diferenciais a seguir, sendo p o operador derivada.
\ddot{y}(t)+6 \dot{y}(t)+8 y(t)=2 e^{-t}, \quad y(0)=0, \quad \dot{y}(0)=0 .

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial com condições iniciais dadas. Informações fornecidas:
\ddot{y}(t)+6\dot{y}(t)+8y(t)=2e^{-t}, \qquad y(0)=0,\qquad \dot{y}(0)=0.
Também foi dito que p é o operador derivada (ou seja, p y = \dot{y}), mas aqui usaremos a transformada de Laplace diretamente sobre as derivadas. A meta é achar y(t) para t\ge0.

Passo 2

Vamos usar a transformada de Laplace. Primeiro, a definição e propriedades que precisamos (explicando como usar na prova):
  • A transformada de Laplace de uma função f(t) é
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
onde s é a variável complexa da transformada.
  • Propriedade de linearidade: \mathcal{L}\{a f(t)+b g(t)\}=a\mathcal{L}\{f(t)\}+b\mathcal{L}\{g(t)\}.
  • Transformada das derivadas (essencial para transformar EDOs): para Y(s)=\mathcal{L}\{y(t)\},
\mathcal{L}\{\dot{y}(t)\}=sY(s)-y(0), \qquad \mathcal{L}\{\ddot{y}(t)\}=s^{2}Y(s)-s y(0)-\dot{y}(0).
Essas fórmulas resultam de integrar por partes; na prova você deve lembrar delas e substituir as condições iniciais.
  • Transformada de uma exponencial deslocada: \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\dfrac{1}{s+a} (para \Re(s)>-a).
Aplicando isso ao lado direito: \mathcal{L}\{2e^{-t}\}=\dfrac{2}{s+1}.

Passo 3

Agora aplicamos a transformada de Laplace membro a membro da EDO. Usando as fórmulas das derivadas e as condições iniciais y(0)=0, \dot{y}(0)=0, obtemos:
\mathcal{L}\{\ddot{y}\} + 6\mathcal{L}\{\dot{y}\} + 8\mathcal{L}\{y\} = \mathcal{L}\{2e^{-t}\}.
Substituindo:
\big(s^{2}Y(s)-s y(0)-\dot{y}(0)\big) + 6\big(sY(s)-y(0)\big) + 8Y(s) = \frac{2}{s+1}.
Como y(0)=0 e \dot{y}(0)=0, isso simplifica para
(s^{2}+6s+8)\,Y(s)=\frac{2}{s+1}.
Fatorando o polinômio quadrático,
s^{2}+6s+8=(s+2)(s+4).
Portanto
Y(s)=\frac{2}{(s+1)(s+2)(s+4)}.

Passo 4

Para inverter a transformada, fazemos decomposição em frações parciais. Escrevemos
\frac{2}{(s+1)(s+2)(s+4)}=\frac{A}{s+1}+\frac{B}{s+2}+\frac{C}{s+4}.
Multiplicando ambos os lados por (s+1)(s+2)(s+4) obtemos a identidade
2 = A(s+2)(s+4) + B(s+1)(s+4) + C(s+1)(s+2).
Para achar A,B,C é rápido usar valores próprios:
  • Tomando s=-1: 2 = A(1)(3), assim A=\dfrac{2}{3}.
  • Tomando s=-2: 2 = B(-1)(2), assim B=-1.
  • Tomando s=-4: 2 = C(-3)(-2), assim C=\dfrac{1}{3}.
Logo temos
Y(s)=\frac{2/3}{s+1}+\frac{-1}{s+2}+\frac{1/3}{s+4}.

Passo 5

Agora usamos a transformada inversa. A regra básica é \mathcal{L}^{-1}\{\dfrac{1}{s+a}\}=e^{-at}. Aplicando termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2/3}{s+1}\right\}=\frac{2}{3}e^{-t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{-1}{s+2}\right\}=-e^{-2t}, \qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1/3}{s+4}\right\}=\frac{1}{3}e^{-4t}.
Somando esses três termos obtemos a solução y(t). Para checar rapidamente (coisa útil na prova), verifique as condições iniciais: somando os coeficientes em t=0 2/3-1+1/3=0, e a derivada em 0 também dá zero — então as condições iniciais batem.

Resposta

y(t)=\frac{2}{3}e^{-t}-e^{-2t}+\frac{1}{3}e^{-4t}

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