Determine a solução da equação diferencial.
l Questão 5: y^prime=3 cos (2 t)+8 sin (4 t)y^2+y ã

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO y'=3cos(2t)+8sin(4t)y^2+y. Isso cai no tema de equações diferenciais separáveis, e vamos precisar saber separar as variáveis e integrar cada lado.

Passo 2

Reescrevemos a EDO de forma separável, colocando os termos em y num lado e em t no outro:
(y^2+y),dy = (3cos(2t)+8sin(4t)),dt

Passo 3

Integramos o lado esquerdo. Usando integral y^n,dy = y^n+1/(n+1), temos
integral(y^2+y),dy = integral y^2,dy + integral y,dy = y^33 + y^22

Passo 4

Integramos o lado direito. Sabendo que integralcos(ax),dx = 1asin(ax) e integralsin(ax),dx = -1acos(ax), obtemos
integral(3cos(2t)+8sin(4t)),dt = 32sin(2t) - 2cos(4t)

Passo 5

Igualando as integrais e incluindo a constante de integração C, chegamos à solução implícita da EDO:

Resposta

y^33 + y^22 = 32sin(2t) - 2cos(4t) + C

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