Determine a solução da equação diferencial.
para
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável
com condição inicial
. Vamos usar o método de variáveis separáveis para encontrar
.
Passo 2
Separamos as variáveis, escrevendo
:
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo,
. No direito,
. Unindo constantes em uma só
:
Multiplicamos por
e escrevemos a solução implícita:
Passo 3
Aplicamos a condição inicial
. Como
, temos
$$
e^{-2\cdot0} = 1 = C’
e^{-2y} = 1 - \sin(2t)
y(t) = -\tfrac12 \ln\bigl(1 - \sin(2t)\bigr)
$$
Passo 4
Pronto! Encontramos a solução que satisfaz a condição inicial.