Determine a solução da equação diferencial. y^prime=e^2 y cos (2 t) para y(pi / 2)=0
y^prime

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial separável y' = e^2ycos(2t) com condição inicial y(pi/2)=0. Vamos usar o método de variáveis separáveis para encontrar y(t).

Passo 2

Separamos as variáveis, escrevendo y' = dfracdydt:
dye^2y = cos(2t),dt
Integramos ambos os lados. No lado esquerdo, integral e^-2y,dy = -tfrac12e^-2y+C1. No direito, integralcos(2t),dt = tfrac12sin(2t)+C2. Unindo constantes em uma só C:
-tfrac12 e^-2y = tfrac12sin(2t) + C
Multiplicamos por -2) e escrevemos a solução implícita:
e^-2y = -sin(2t) + C'

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(pi/2)=0. Como sin(2cdotpi/2)=sin(pi)=0, temos
$$
e^{-2\cdot0} = 1 = C’ e^-2cdot0 = 1 = C'
e^{-2y} = 1 - \sin(2t)
C'=1
y(t) = -\tfrac12 \ln\bigl(1 - \sin(2t)\bigr)
$$

Passo 4

Pronto! Encontramos a solução que satisfaz a condição inicial.

Resposta

y(t) = -tfrac12 lnl(1 - sin(2t)r)

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