Determine a solução da equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão que temos é resolver a equação diferencial $ y’ = 1 + x + y^2 + \frac{1}{\left(x y{2}\right){-1}} $. Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais, especialmente aquelas que são separáveis. Vou te guiar passo a passo para resolvermos isso juntos.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar. Olha só:
Então, substituindo na equação original, temos:
Passo 3
Agora, vamos fatorar o que podemos. Observamos que tanto o 1 quanto o x estão multiplicando algo. Vamos reescrever:
Isso dá para simplificar ainda mais colocando o
em evidência:
Passo 4
Perfeito, agora a equação ficou:
Isso é uma equação separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis y e x para integrar cada lado.
Passo 5
Vamos separar as variáveis:
Agora, cada lado da equação só tem uma variável, e podemos integrar ambos.
Passo 6
Vamos integrar cada lado:
À esquerda, temos:
À direita, temos:
Passo 7
Unindo as duas integrais, ficamos com:
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é uma constante qualquer.
Passo 8
Finalmente, queremos isolar o y para obter a solução geral. Aplicamos a função tangente dos dois lados:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: