Determine a solução da equação diferencial. y^prime=1+x+y^2+1(x y^2)^-1

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão que temos é resolver a equação diferencial $ y’ = 1 + x + y^2 + \frac{1}{\left(x y{2}\right){-1}} $. Vamos precisar usar o conteúdo de equações diferenciais, especialmente aquelas que são separáveis. Vou te guiar passo a passo para resolvermos isso juntos.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar. Olha só:
1(x y^2)^-1 = x y^2
Então, substituindo na equação original, temos:
y' = 1 + x + y^2 + x y^2

Passo 3

Agora, vamos fatorar o que podemos. Observamos que tanto o 1 quanto o x estão multiplicando algo. Vamos reescrever:
y' = (1 + x) + y^2(1 + x)
Isso dá para simplificar ainda mais colocando o 1 + x em evidência:
y' = (1 + x)(1 + y^2)

Passo 4

Perfeito, agora a equação ficou:
dydx = (1 + x)(1 + y^2)
Isso é uma equação separável, o que significa que conseguimos separar as variáveis y e x para integrar cada lado.

Passo 5

Vamos separar as variáveis:
dy1 + y^2 = (1 + x) dx
Agora, cada lado da equação só tem uma variável, e podemos integrar ambos.

Passo 6

Vamos integrar cada lado:
À esquerda, temos:
integral dy1 + y^2 = arctan(y) + C1
À direita, temos:
integral (1 + x) dx = x + x^22 + C2

Passo 7

Unindo as duas integrais, ficamos com:
arctan(y) = x + x^22 + C
Onde $ C = C_2 - C_1 $ é uma constante qualquer.

Passo 8

Finalmente, queremos isolar o y para obter a solução geral. Aplicamos a função tangente dos dois lados:
y = tan(x + x^22 + C)

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = tan(x + x^22 + C)

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