Questão 6. Sejam e . Assinale a alternativa correta:
A e são condicionalmente convergentes.
B absolutamente e condicionalmente convergentes. condicionalmente e absolutamente convergentes.
D e são absolutamente convergentes.
E Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão sobre convergência de séries, um tópico importante em cálculo. A pergunta nos dá duas séries alternadas, e , e queremos saber se elas convergem de forma absoluta ou condicional. Para isso, vamos precisar entender a diferença entre convergência absoluta e convergência condicional e aplicar alguns testes de convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa cada tipo de convergência:
Convergência Absoluta: Uma série converge absolutamente se a série dos valores absolutos também converge.
Convergência Condicional: Uma série converge condicionalmente se converge, mas a série dos valores absolutos diverge.
Vamos aplicar isso às nossas séries e .
Passo 3
Começamos analisando .
Primeiro, verificamos a convergência absoluta calculando a série dos valores absolutos:
Para verificar se essa série converge, podemos compará-la com uma série p, sum 1n^p. Aqui, raiz[4]n^3 = n^3/4, então temos algo parecido com 1n^3/4. Sabemos que sum 1n^p converge se p > 1. Neste caso, 3/4 < 1, então a série dos valores absolutos diverge. Portanto, S1não converge absolutamente.
Passo 4
Agora, vamos verificar a convergência condicional de S1. Como a série é alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos bn = 1raiz[4]n^3+1 são positivos, decrescentes e tendem a zero quando n tende ao infinito, então a série converge.
Positivos: Sim, porque raiz[4]n^3+1 > 0 para todo n.
Decrescentes: Sim, conforme n aumenta, bn diminui.
Comparando com a série p, raiz[4]n^5 = n^5/4. Temos então 1n^5/4. Sabemos que sum 1n^p converge se p > 1. Aqui, 5/4 > 1, então a série dos valores absolutos converge. Portanto, S2converge absolutamente.
Passo 6
Recapitulando:
S1 não converge absolutamente, mas converge condicionalmente.
S2 converge absolutamente.
Agora, vamos ver qual alternativa corresponde a isso.
Resposta
C) S1 condicionalmente e S2 absolutamente convergentes.