Questão 6. Sejam S1=sumn=0^infty (-1)^nraiz[4]n^3+1 e S2= sumn=0^infty (-1)^nraiz[4]n^5+1. Assinale a alternativa correta:
A S1 e S2 são condicionalmente convergentes.
B S1 absolutamente e S2 condicionalmente convergentes.
S1 condicionalmente e S2 absolutamente convergentes.
D S1 e S2 são absolutamente convergentes.
E Nenhuma das outras alternativas é verdadeira.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão sobre convergência de séries, um tópico importante em cálculo. A pergunta nos dá duas séries alternadas, S1 e S2, e queremos saber se elas convergem de forma absoluta ou condicional. Para isso, vamos precisar entender a diferença entre convergência absoluta e convergência condicional e aplicar alguns testes de convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa cada tipo de convergência:
  • Convergência Absoluta: Uma série sum an converge absolutamente se a série dos valores absolutos sum |an| também converge.
  • Convergência Condicional: Uma série sum an converge condicionalmente se sum an converge, mas a série dos valores absolutos sum |an| diverge.
Vamos aplicar isso às nossas séries S1 e S2.

Passo 3

Começamos analisando S1 = sumn=0^infty (-1)^nraiz[4]n^3+1.
Primeiro, verificamos a convergência absoluta calculando a série dos valores absolutos:
sumn=0^infty | (-1)^nraiz[4]n^3+1 | = sumn=0^infty 1raiz[4]n^3+1
Para verificar se essa série converge, podemos compará-la com uma série p, sum 1n^p. Aqui, raiz[4]n^3 = n^3/4, então temos algo parecido com 1n^3/4. Sabemos que sum 1n^p converge se p > 1. Neste caso, 3/4 < 1, então a série dos valores absolutos diverge. Portanto, S1 não converge absolutamente.

Passo 4

Agora, vamos verificar a convergência condicional de S1. Como a série é alternada, podemos usar o Teste da Série Alternada, que diz que se os termos bn = 1raiz[4]n^3+1 são positivos, decrescentes e tendem a zero quando n tende ao infinito, então a série converge.
  • Positivos: Sim, porque raiz[4]n^3+1 > 0 para todo n.
  • Decrescentes: Sim, conforme n aumenta, bn diminui.
  • Limite zero: limn to infty 1raiz[4]n^3+1 = 0.
Portanto, S1 converge condicionalmente.

Passo 5

Agora, vamos analisar S2 = sumn=0^infty (-1)^nraiz[4]n^5+1.
Primeiro, verificamos a convergência absoluta:
sumn=0^infty | (-1)^nraiz[4]n^5+1 | = sumn=0^infty 1raiz[4]n^5+1
Comparando com a série p, raiz[4]n^5 = n^5/4. Temos então 1n^5/4. Sabemos que sum 1n^p converge se p > 1. Aqui, 5/4 > 1, então a série dos valores absolutos converge. Portanto, S2 converge absolutamente.

Passo 6

Recapitulando:
  • S1 não converge absolutamente, mas converge condicionalmente.
  • S2 converge absolutamente.
Agora, vamos ver qual alternativa corresponde a isso.

Resposta

C) S1 condicionalmente e S2 absolutamente convergentes.

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