Determine a solução da equação diferencial
y^prime prime-6 y^prime+8 y=0
sujeita à condição inicial y(0)=0 e y^prime(0)=6.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes sujeita a condições iniciais. A equação é:
y'' - 6y' + 8y = 0
As condições iniciais são y(0)=0 e y'(0)=6. Vamos usar a técnica de equação característica.

Passo 2

Para resolver uma EDO linear de coeficientes constantes, montamos a equação característica associada:
r^2 - 6r + 8 = 0
Essa é obtida substituindo y = e^rx, pois então y' = r e^rx e y'' = r^2 e^rx.

Passo 3

Resolvendo a equação característica
r^2 - 6r + 8 = 0
Usamos fórmula de Bhaskara ou fatoramos:
r^2 - 6r + 8 = (r-2)(r-4) = 0
Logo as raízes são r=2 e r=4.

Passo 4

Como as raízes r1=2 e r2=4 são reais e distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^2x + C2 e^4x

Passo 5

Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
y'(x) = 2C1 e^2x + 4C2 e^4x

Passo 6

Usando y(0)=0:
y(0) = C1 + C2 = 0 ,Rightarrow, C1 = -C2

Passo 7

Usando y'(0)=6:
y'(0) = 2C1 + 4C2 = 6
Substituindo C1 = -C2:
2(-C2) + 4C2 = 2C2 = 6 ,Rightarrow, C2 = 3
E assim C1 = -3.

Passo 8

Portanto, substituindo C1 e C2 na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais.

Resposta

y(x) = -3e^2x + 3e^4x

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