Determine a solução da equação diferencial
sujeita à condição inicial
e
.
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes sujeita a condições iniciais. A equação é:
As condições iniciais são
e
. Vamos usar a técnica de equação característica.
Passo 2
Para resolver uma EDO linear de coeficientes constantes, montamos a equação característica associada:
Essa é obtida substituindo
, pois então
e
.
Passo 3
Resolvendo a equação característica
Usamos fórmula de Bhaskara ou fatoramos:
Logo as raízes são
e
.
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral é
Passo 5
Calculamos a derivada para aplicar as condições iniciais:
Passo 6
Usando
:
Passo 7
Usando
:
Substituindo
:
E assim
.
Passo 8
Portanto, substituindo
e
na solução geral, obtemos a solução particular que satisfaz as condições iniciais.