Vamos supor que temos um tanque de capacidade fixa cheio de uma solução completamente misturada de alguma substância. Uma solução de uma dada concentração entra no tanque a taxa fixa e a mistura, bem agitada, sai a uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada. Se
denota a quantidade de substância no tanque no instanante
, então
é a taxa na qual a substância está sendo adicionada menos a taxa na qual ela está sendo retirada. Isto é,
Com essa informação considere a seguinte situação:
Um tanque contém 15 kg de sal dissolvido em 3000 L de água. Água salgada com 0.01 Kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
. A solução é misturada completamente e sai do tanque com uma taxa de
. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque após 25 minutos?
Um tanque contém 15 kg de sal dissolvido em 3000 L de água. Água salgada com 0.01 Kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
Passo 1
O problema trata de um tanque em que entra água salgada e sai a mistura, mudando o volume ao longo do tempo. Vamos modelar a quantidade de sal y(t) por uma EDO de primeira ordem do tipo
taxa de entrada – taxa de saída.
Passo 2
O volume no tanque em função do tempo é
em litros, porque entram 18 L/min e saem 20 L/min.
Passo 3
A taxa de entrada de sal é
. A concentração na saída é
, saindo a
. Logo a EDO é
Passo 4
Essa EDO é linear no formato
com
e
. Calculamos o fator integrante
Passo 5
Multiplicando por
temos
$$\frac{d}{dt}\bigl(y,(3000-2t){-10}\bigr)=0.18,(3000-2t){-10}.
$$
Passo 6
Usando a condição inicial
:
$$15=0.01\cdot3000 + C\cdot3000^{10} \implies C=-\frac{15}{3000^{10}}.
$$
Passo 7
A solução particular é
$$y(t)=0.01(3000-2t)-15\frac{(3000-2t){10}}{3000{10}}.
$$
Passo 8
Para
min, temos
, logo
$$y(25)=0.01\cdot2950 -15\Bigl(\frac{2950}{3000}\Bigr)^{10}\approx16.8,kg.
$$
Resposta
A quantidade de sal após 25 minutos é aproximadamente
.