Vamos supor que temos um tanque de capacidade fixa cheio de uma solução completamente misturada de alguma substância. Uma solução de uma dada concentração entra no tanque a taxa fixa e a mistura, bem agitada, sai a uma taxa fixa, que pode ser diferente da taxa de entrada. Se y(t) denota a quantidade de substância no tanque no instanante t, então y^prime(t) é a taxa na qual a substância está sendo adicionada menos a taxa na qual ela está sendo retirada. Isto é,
d yd t=( taxa de entrada )-( taxa de saída ) í
Com essa informação considere a seguinte situação:
Um tanque contém 15 kg de sal dissolvido em 3000 L de água. Água salgada com 0.01 Kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 18 L / min. A solução é misturada completamente e sai do tanque com uma taxa de 20 L / min. Qual a quantidade de sal que permanece no tanque após 25 minutos?

Passo 1

O problema trata de um tanque em que entra água salgada e sai a mistura, mudando o volume ao longo do tempo. Vamos modelar a quantidade de sal y(t) por uma EDO de primeira ordem do tipo y'(t) = taxa de entrada – taxa de saída.

Passo 2

O volume no tanque em função do tempo é V(t)=3000 + (18-20)t=3000-2t em litros, porque entram 18 L/min e saem 20 L/min.

Passo 3

A taxa de entrada de sal é 0.01,kg/Ltimes 18,L/min=0.18,kg/min. A concentração na saída é dfracy(t)V(t), saindo a 20,L/min. Logo a EDO é
y' = 0.18 - 20y3000-2t

Passo 4

Essa EDO é linear no formato y' + p(t)y = q(t) com p(t)=203000-2t e q(t)=0.18. Calculamos o fator integrante
mu(t)=expgl(integral 203000-2t,dtgr)= (3000-2t)^-10

Passo 5

Multiplicando por mu temos
$$\frac{d}{dt}\bigl(y,(3000-2t){-10}\bigr)=0.18,(3000-2t){-10}.
ddtl(y,(3000-2t)^-10r)=0.18,(3000-2t)^-10 y,(3000-2t){-10}=0.01,(3000-2t){-9}+C.
u=3000-2ty(t)=0.01,(3000-2t)+C,(3000-2t)^{10}.
$$

Passo 6

Usando a condição inicial y(0)=15,kg:
$$15=0.01\cdot3000 + C\cdot3000^{10} \implies C=-\frac{15}{3000^{10}}.
$$

Passo 7

A solução particular é
$$y(t)=0.01(3000-2t)-15\frac{(3000-2t){10}}{3000{10}}.
$$

Passo 8

Para t=25 min, temos 3000-2cdot25=2950, logo
$$y(25)=0.01\cdot2950 -15\Bigl(\frac{2950}{3000}\Bigr)^{10}\approx16.8,kg.
$$

Resposta

A quantidade de sal após 25 minutos é aproximadamente 16.8,kg.

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