Determine a solução da equação:
y^prime prime prime+y=0

Passo 1

Neste exercício, precisamos resolver a equação diferencial ordinária linear de ordem 3, homogênea e com coeficientes constantes: y''' + y = 0. Vamos usar o método do polinômio característico para encontrar a solução geral.

Passo 2

Assumimos uma solução do tipo y = e^rx e, ao substituir na equação, obtemos o polinômio característico:
r^3 + 1 = 0

Passo 3

Para resolver r^3 + 1 = 0, reescrevemos -1 em forma polar como -1 = e^i(pi + 2kpi). Assim,
rk = e^i(pi + 2kpi)/3, k = 0,1,2

Passo 4

Calculando as raízes: para k=0 temos r0 = e^ipi/3 = tfrac12 + itfracraiz32; para k=1 temos r1 = e^ipi = -1; para k=2 temos r2 = e^i5pi/3 = tfrac12 - itfracraiz32.

Passo 5

Como há uma raiz real r=-1 e um par de raízes complexas conjugadas tfrac12pm itfracraiz32, a solução geral real é dada pela combinação linear das soluções associadas:
y(x) = C1 e^-x + e^tfracx2l(C2 cosl(tfracraiz32xr) + C3 sinl(tfracraiz32xr)r)

Resposta

y(x) = C1 e^-x + e^x/2l(C2 cos(tfracraiz32x) + C3 sin(tfracraiz32x)r)

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