Determine a solução da equação:
y^prime prime+2 y^prime+(x^2+1) y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem não–constante
y’’ + 2y’ + (x² + 1)y = 0
O conteúdo aqui é remover o termo y’ via mudança de variável e depois reconhecer uma equação de Bessel de ordem fracionária.

Passo 2

Para eliminar o termo y’ a gente tenta y(x) = e^{−x} u(x). Isso faz o coeficiente de u’ cair. Vamos calcular y’, y’’ em função de u e depois substituir na EDO.

Passo 3

Derivamos:
y = e^−xu,
y' = e^−x(u' − u),
y'' = e^−x(u'' − 2u' + u)
Substituindo em y’’ + 2y’ + (x² + 1)y = 0 e fatorando e^{−x} obtemos
u'' + x² u = 0 ²

Passo 4

Agora resolvemos u’’ + x²u = 0. Essa equação é clássica e, fazendo a mudança z = x²/2, transforma-se numa equação de Bessel de ordem ν = ±1/4. O resultado conhecido é
u(x) = ,raizxl(C1 J1/4(x^2/2) + C2 J-1/4(x^2/2)r)

Passo 5

Voltando à variável original y = e^{−x}u, a solução geral da EDO é
y(x) = e^−xraizxl(C1 J1/4(x^2/2) + C2 J-1/4(x^2/2)r)

Resposta

y(x) = e^{-x} \sqrt{x} \bigl(C_1 J_{1/4}(x^2/2) + C_2 J_{-1/4}(x^2/2)\bigr)

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