Determine a solução da equação:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO linear de segunda ordem não–constante
y’’ + 2y’ + (x² + 1)y = 0
O conteúdo aqui é remover o termo y’ via mudança de variável e depois reconhecer uma equação de Bessel de ordem fracionária.
Passo 2
Para eliminar o termo y’ a gente tenta y(x) = e^{−x} u(x). Isso faz o coeficiente de u’ cair. Vamos calcular y’, y’’ em função de u e depois substituir na EDO.
Passo 3
Derivamos:
Substituindo em y’’ + 2y’ + (x² + 1)y = 0 e fatorando e^{−x} obtemos
Passo 4
Agora resolvemos u’’ + x²u = 0. Essa equação é clássica e, fazendo a mudança z = x²/2, transforma-se numa equação de Bessel de ordem ν = ±1/4. O resultado conhecido é
Passo 5
Voltando à variável original y = e^{−x}u, a solução geral da EDO é
Resposta
y(x) = e^{-x} \sqrt{x} \bigl(C_1 J_{1/4}(x^2/2) + C_2 J_{-1/4}(x^2/2)\bigr)