Determine uma solução da seguinte equação usando o método de séries de potências:
y^prime prime+y=3 x

Passo 1

Temos a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea
y’’+y=3x,
queremos uma solução em série de potências em torno de x=0. Vamos usar como base a expansão
y(x)=∑_{n=0}^∞ a_n x^n,
e obter recorrências para os coeficientes a_n.

Passo 2

Primeiro, escrevemos y, y’ e y’’ em série. Se
y(x)=sumn=0^infty an x^n,
então derivando termo a termo:
y'(x)=sumn=0^infty (n+1)an+1x^n, y''(x)=sumn=0^infty (n+2)(n+1)an+2x^n

Passo 3

Substituindo na equação y’’+y=3x e alinhando potências de x, obtemos
sumn=0^inftyigl[(n+2)(n+1)an+2+anr]x^n=3x 
Igualando coeficientes de x^n:
Para n=1: (3·2)a_3 +a_1=3 ⇒ a_3=(3−a_1)/6;
Para n\neq1: (n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n=0 ⇒ a_{n+2}=-\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}.

Passo 4

Agora resolvemos as recorrências separando termos pares e ímpares. Para n par (n=2k) surge
a2k+2=-a2k(2k+2)(2k+1)
cuja solução é a_{2k}=(-1)^k a_0/(2k)!; para n ímpar, além da parte homogênea a_{2k+1}{(h)}=(-1)k a_1/(2k+1)!, há a correção em a_3 que introduz o termo particular de 3x. Depois de calcular a_3, a_5, a_7, … confirmamos que esse acréscimo gera exatamente y_p(x)=3x.

Passo 5

Somando tudo, o desenvolvimento em série fica
y(x)=a0sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)!+a1sumk=0^infty(-1)^kx^2k+1(2k+1)!+3x
Reconhecemos nos dois primeiros somatórios as séries de cos x e sin x, respectivamente, e o último termo como a solução particular.

Resposta

y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x + 3x

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