Determine uma solução da seguinte equação usando o método de séries de potências:
Passo 1
Temos a equação diferencial de segunda ordem não-homogênea
y’’+y=3x,
queremos uma solução em série de potências em torno de x=0. Vamos usar como base a expansão
y(x)=∑_{n=0}^∞ a_n x^n,
e obter recorrências para os coeficientes a_n.
y’’+y=3x,
queremos uma solução em série de potências em torno de x=0. Vamos usar como base a expansão
y(x)=∑_{n=0}^∞ a_n x^n,
e obter recorrências para os coeficientes a_n.
Passo 2
Primeiro, escrevemos y, y’ e y’’ em série. Se
então derivando termo a termo:
Passo 3
Substituindo na equação y’’+y=3x e alinhando potências de x, obtemos
Igualando coeficientes de x^n:
Para n=1: (3·2)a_3 +a_1=3 ⇒ a_3=(3−a_1)/6;
Para n\neq1: (n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n=0 ⇒ a_{n+2}=-\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}.
Para n=1: (3·2)a_3 +a_1=3 ⇒ a_3=(3−a_1)/6;
Para n\neq1: (n+2)(n+1)a_{n+2}+a_n=0 ⇒ a_{n+2}=-\frac{a_n}{(n+2)(n+1)}.
Passo 4
Agora resolvemos as recorrências separando termos pares e ímpares. Para n par (n=2k) surge
cuja solução é a_{2k}=(-1)^k a_0/(2k)!; para n ímpar, além da parte homogênea a_{2k+1}{(h)}=(-1)k a_1/(2k+1)!, há a correção em a_3 que introduz o termo particular de 3x. Depois de calcular a_3, a_5, a_7, … confirmamos que esse acréscimo gera exatamente y_p(x)=3x.
Passo 5
Somando tudo, o desenvolvimento em série fica
Reconhecemos nos dois primeiros somatórios as séries de cos x e sin x, respectivamente, e o último termo como a solução particular.
Resposta
y(x)=C_1\cos x + C_2\sin x + 3x