Determine a solução em série da equação:
Passo 1
O enunciado pede a solução em série (em torno de x=0) da equação
. O conteúdo aqui é o método de série de potências para EDOs, e vamos precisar assumir
e encontrar uma recorrência para os
.
Passo 2
Assumimos a expansão de potências
portanto
Passo 3
Substituindo em
e realinhando potências de
, obtemos
Na segunda soma fazemos
e reescrevemos tudo como soma em
:
para vem
para
e para
igualando coeficientes de
:
Passo 4
Da recorrência vemos que
e que cada
se obtém de
. Isso gera dois ramos independentes: um partindo de
(índices
) e outro de
(índices
).
Tomando e
como constantes livres, obtemos as duas séries
Tomando
A solução geral é a combinação linear desses dois modos independentes.
Resposta
A solução em série geral é
odonde
e
são constantes arbitrárias.