Determine a solução em série da equação:
y^prime prime+x y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução em série (em torno de x=0) da equação y'' + x,y = 0. O conteúdo aqui é o método de série de potências para EDOs, e vamos precisar assumir y=sumn=0^infty an x^n e encontrar uma recorrência para os an.

Passo 2

Assumimos a expansão de potências
y(x)=sumn=0^infty an x^n,
portanto
y''(x)=sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n

Passo 3

Substituindo em y'' + x,y=0 e realinhando potências de x, obtemos
sumn=0^infty (n+2)(n+1),an+2,x^n +sumn=0^infty an x^n+1=0
Na segunda soma fazemos m=n+1 e reescrevemos tudo como soma em x^n:
para n=0 vem
2,a2=0Rightarrow a2=0,
e para n>=1 igualando coeficientes de x^n:
(n+2)(n+1),an+2+an-1=0 Longrightarrow an+2=-an-1(n+2)(n+1)

Passo 4

Da recorrência vemos que a2=0 e que cada an+2 se obtém de an-1. Isso gera dois ramos independentes: um partindo de a0 (índices 0,3,6,dots) e outro de a1 (índices 1,4,7,dots).
Tomando a0 e a1 como constantes livres, obtemos as duas séries
y1(x)=a0l(1-x^33cdot2+x^66cdot5cdot3cdot2-cdotsr),
y2(x)=a1l(x-x^44cdot3+x^77cdot6cdot4cdot3-cdotsr)
A solução geral é a combinação linear desses dois modos independentes.

Resposta

A solução em série geral é
boxedy(x)=C1l(1-tfracx^36+tfracx^6180-cdotsr) + C2l(x-tfracx^412+tfracx^7504-cdotsr)
odonde C1=a0 e C2=a1 são constantes arbitrárias.

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