(Pontuação: 1,0) Usando a Regra de Lhôspital, calcule lim x 0 sen(2 x) cdot cos (x)3 x.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o limite de sin(2x) cdot cos(x)3x quando x se aproxima de 0, usando a Regra de L’Hôpital. Para isso, vamos precisar entender o que é a Regra de L’Hôpital e como aplicá-la em limites que resultam em formas indeterminadas, como 00.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos x = 0 na expressão original:
sin(2 cdot 0) cdot cos(0)3 cdot 0 = 0 cdot 10 = 00
Essa é uma forma indeterminada 00, que nos permite usar a Regra de L’Hôpital para calcular o limite.

Passo 3

A Regra de L’Hôpital diz que se limx to c f(x)g(x) resulta em 00 ou inftyinfty, então podemos calcular o limite das derivadas das funções:
limx to c f(x)g(x) = limx to c f'(x)g'(x)
Então, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador da nossa expressão original.

Passo 4

Vamos chamar o numerador de f(x) = sin(2x) cdot cos(x) e o denominador de g(x) = 3x.
Primeiro, derivamos f(x) usando a regra do produto:
f'(x) = ddx[sin(2x)] cdot cos(x) + sin(2x) cdot ddx[cos(x)]
Sabemos que ddx[sin(2x)] = 2cos(2x) e ddx[cos(x)] = -sin(x). Substituindo:
f'(x) = 2cos(2x) cdot cos(x) - sin(2x) cdot sin(x)
Agora, derivamos g(x):
g'(x) = ddx[3x] = 3

Passo 5

Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no limite:
limx to 0 sin(2x) cdot cos(x)3x = limx to 0 2cos(2x) cdot cos(x) - sin(2x) cdot sin(x)3

Passo 6

Vamos calcular esse novo limite substituindo x = 0:
2cos(2 cdot 0) cdot cos(0) - sin(2 cdot 0) cdot sin(0) = 2 cdot 1 cdot 1 - 0 cdot 0 = 2
Então, o limite fica:
23

Resposta

O limite é 23.

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