(Pontuação: 1,0) Usando a Regra de Lhôspital, calcule
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para calcular o limite de
quando
se aproxima de 0, usando a Regra de L’Hôpital. Para isso, vamos precisar entender o que é a Regra de L’Hôpital e como aplicá-la em limites que resultam em formas indeterminadas, como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece quando substituímos
na expressão original:
Essa é uma forma indeterminada
, que nos permite usar a Regra de L’Hôpital para calcular o limite.
Passo 3
A Regra de L’Hôpital diz que se
resulta em
ou
, então podemos calcular o limite das derivadas das funções:
Então, vamos encontrar as derivadas do numerador e do denominador da nossa expressão original.
Passo 4
Vamos chamar o numerador de
e o denominador de
.
Primeiro, derivamos
usando a regra do produto:
Sabemos que
e
. Substituindo:
Agora, derivamos
:
Passo 5
Agora, aplicando a Regra de L’Hôpital, substituímos as derivadas no limite:
Passo 6
Vamos calcular esse novo limite substituindo
:
Então, o limite fica:
Resposta
O limite é
.