Determine a solução das equações abaixo em série de potências de
, em torno de
. Dê um intervalo onde a solução é válida.
.
Passo 1
O enunciado pede a solução da equação diferencial
em série de potências em torno de
, além de um intervalo onde a série converge. Vamos usar o método da série de potências: supor
calcular
e
, inserir na equação e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes
.
Passo 2
Assumindo
temos
Passo 3
Substituindo em
obtemos
Reescrevendo todas as somas com a mesma potência
(trocando
no primeiro somatório) e somando termos em
, chega-se à condição
que simplifica usando
. Assim
Passo 4
Para os termos de ordem par, tome
livre e
:
Em seguida, para
vem
e portanto todos os
com
são nulos. A série par termina em grau 2, gerando a solução polinomial
Passo 5
Para os termos de ordem ímpar, tome
livre e
:
Em
obtém-se
e todos os demais
com
são zero. A série ímpar termina em grau 3, gerando
Passo 6
A solução geral é combinação linear das duas séries truncadas:
e como os coeficientes da equação são polinomiais (analíticos em todo
), o raio de convergência da série é infinito. Logo, a solução é válida em