Determine a solução das equações abaixo em série de potências de x, em torno de x_{0}=0. Dê um intervalo onde a solução é válida.
\left(1+x^{2}\right) y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+6 y=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução da equação diferencial
(1+x^{2})\,y'' -4x\,y' +6y = 0
em série de potências em torno de x_{0}=0, além de um intervalo onde a série converge. Vamos usar o método da série de potências: supor
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
calcular y' e y'', inserir na equação e obter uma relação de recorrência entre os coeficientes a_{n}.

Passo 2

Assumindo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n},
temos
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{\,n-1},
y''(x)=\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)\,a_{n}x^{\,n-2}.

Passo 3

Substituindo em (1+x^{2})y'' -4x\,y' +6y=0 obtemos
(1+x^{2})\sum_{n=2}^{\infty}n(n-1)a_{n}x^{n-2} -4x\sum_{n=1}^{\infty}n\,a_{n}x^{n-1} +6\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n}=0.
Reescrevendo todas as somas com a mesma potência x^{k} (trocando k=n-2 no primeiro somatório) e somando termos em x^{k}, chega-se à condição
(k+2)(k+1)\,a_{k+2}+\bigl[k(k-1)-4k+6\bigr]a_{k}=0,
que simplifica usando k(k-1)-4k+6=k^{2}-5k+6=(k-2)(k-3). Assim
a_{k+2} =-\frac{(k-2)(k-3)}{(k+2)(k+1)}\,a_{k} \quad\text{para }k\ge0.

Passo 4

Para os termos de ordem par, tome a_{0} livre e k=0:
a_{2}=-\frac{(0-2)(0-3)}{2\cdot1}\,a_{0} =-\frac{6}{2}\,a_{0}=-3a_{0}.
Em seguida, para k=2 vem
a_{4}=-\frac{(2-2)(2-3)}{4\cdot3}\,a_{2}=0,
e portanto todos os a_{2m} com m\ge2 são nulos. A série par termina em grau 2, gerando a solução polinomial
y_{1}(x)=a_{0}\bigl(1-3x^{2}\bigr).

Passo 5

Para os termos de ordem ímpar, tome a_{1} livre e k=1:
a_{3}=-\frac{(1-2)(1-3)}{3\cdot2}\,a_{1} =-\frac{2}{6}\,a_{1}=-\tfrac{1}{3}a_{1}.
Em k=3 obtém-se a_{5}=0 e todos os demais a_{2m+1} com m\ge2 são zero. A série ímpar termina em grau 3, gerando
y_{2}(x)=a_{1}\Bigl(x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr).

Passo 6

A solução geral é combinação linear das duas séries truncadas:
y(x) =C_{1}\bigl(1-3x^{2}\bigr) +C_{2}\Bigl(x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr),
e como os coeficientes da equação são polinomiais (analíticos em todo \mathbb{R}), o raio de convergência da série é infinito. Logo, a solução é válida em
(-\infty,\infty).

Resposta

y(x)=C_{1}\bigl(1-3x^{2}\bigr)+C_{2}\Bigl(x-\tfrac{x^{3}}{3}\Bigr), \quad x\in(-\infty,\infty).

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